1. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 120 м со скоростью 36 км/ч. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля?
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Средний уровень
- Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 120 м со скоростью 36 км/ч. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля?
- Вал диаметром 20 см при вращении делает один оборот за 0,4 с. Определите линейную скорость точек на поверхности вала.
- Колесо диаметром 50 см, двигаясь равномерно, проходит расстояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость вращения колеса?
- Шлифовальный камень радиусом 30 см совершает один оборот за 0,6 с. Где расположены точки, имеющие наибольшую линейную скорость, и чему она равна?
- Конькобежец движется со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 50 м. Каково центростремительное ускорение при движении конькобежца?
- Колесо велосипеда имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 120 об/мин? Чему равен период вращения колеса?
Достаточный уровень
- Найти линейную скорость Земли при её орбитальном движении. Средний радиус земной орбиты \(1{,}5\cdot10^{8}\) км.
Краткие ответы
- \(a \approx 0{,}83\) м/с²
- \(v \approx 1{,}6\) м/с
- \(\omega = 2\) рад/с
- Точки на ободе (наружной кромке) камня; \(v_{\max} \approx 3{,}1\) м/с
- \(a = 2{,}88\) м/с²
- \(v \approx 5{,}0\) м/с; \(T = 0{,}5\) с Д1. \(v \approx 30\) км/с
Главные формулы
\[ \nu=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T},\qquad v=\omega R=\frac{2\pi R}{T},\qquad a_{\text{ц}}=\frac{v^{2}}{R}=\omega^{2}R \]
Здесь \(T\) — период (время одного оборота), \(\nu\) — частота, \(\omega\) — угловая скорость, \(R\) — радиус. При равномерном движении по окружности скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру.
Решения по шагам
1. Перевожу скорость: \[ 36\ \text{км/ч}=36:3{,}6=10\ \text{м/с} \] \[ a=\frac{v^{2}}{R}=\frac{10^{2}}{120}\approx0{,}83\ \text{м/с}^{2} \]
2. Диаметр \(20\) см, значит \(R=0{,}1\) м. За один оборот точка проходит \(2\pi R\): \[ v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot0{,}1}{0{,}4}\approx1{,}6\ \text{м/с} \]
3. Центр колеса проходит \(2\) м за \(4\) с: \[ v=\frac{s}{t}=\frac{2}{4}=0{,}5\ \text{м/с} \] Радиус колеса \(R=0{,}25\) м, поэтому \[ \omega=\frac{v}{R}=\frac{0{,}5}{0{,}25}=2\ \text{рад/с} \]
4. Линейная скорость \(v=\omega R\): при одинаковой угловой скорости она больше там, где больше радиус, то есть на ободе (наружной рабочей кромке) камня. \[ v_{\max}=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot0{,}3}{0{,}6}\approx3{,}1\ \text{м/с} \]
5. \[ a=\frac{v^{2}}{R}=\frac{12^{2}}{50}=\frac{144}{50}=2{,}88\ \text{м/с}^{2} \]
6. Частота: \[ n=\frac{120}{60}=2\ \text{об/с} \] Тогда период: \[ T=\frac{1}{n}=0{,}5\ \text{с} \] Скорость: \[ v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot0{,}4}{0{,}5}\approx5{,}0\ \text{м/с} \]
Д1. Радиус орбиты: \[ R=1{,}5\cdot10^{8}\ \text{км}=1{,}5\cdot10^{11}\ \text{м} \] Период обращения Земли: \[ T\approx365\cdot24\cdot3600\approx3{,}15\cdot10^{7}\ \text{с} \] \[ v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\cdot3{,}14\cdot1{,}5\cdot10^{11}}{3{,}15\cdot10^{7}}\approx3{,}0\cdot10^{4}\ \text{м/с}\approx30\ \text{км/с} \]
Проверка
Для задачи 6 можно посчитать иначе: \[ \omega=2\pi n=2\cdot3{,}14\cdot2\approx12{,}6\ \text{рад/с} \] \[ v=\omega R=12{,}6\cdot0{,}4\approx5{,}0\ \text{м/с} \] Результат совпадает. В задаче 2 ответ можно проверить через диаметр: \(v=\frac{\pi d}{T}=\frac{3{,}14\cdot0{,}2}{0{,}4}\approx1{,}6\) м/с.
Обсуждение
2 сообщенияРеши
На фото — другой набор условий, чем в прошлом ответе, поэтому прежние ответы к этим номерам не относятся. Решаю задачи 2–6 по фотографии.
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 2 | \(v_A=0;\quad v_O=v;\quad v_C=2v;\quad v_B=\sqrt{2}\,v\) |
| 3 | \(R\approx 8{,}3\) см |
| 4 | \(v\approx 3{,}2\cdot10^2\) м/с |
| 5 | \(v=\dfrac{2\pi(R_{\oplus}+h)}{T}\), на запад, примерно \(1{,}7\cdot10^3\) км/ч |
| 6 | \(v_{\text{верх}}=40\) км/ч |
2. Катящийся диск
Диск катится без скольжения, значит точка касания \(A\) — мгновенный центр вращения. Угловая скорость:
\[ \omega=\frac{v}{R}. \]
Считаю, что диск катится вправо. Тогда:
- \(v_A=0\);
- \(v_O=\omega R=v\) — горизонтально вправо;
- \(v_C=\omega\cdot 2R=2v\) — горизонтально вправо;
- для точки \(B\): \(AB=R\sqrt2\), поэтому
\[ v_B=\omega AB=\frac{v}{R}\cdot R\sqrt2=v\sqrt2. \]
Направление \(v_B\) — перпендикулярно \(AB\), то есть под углом \(45^\circ\) к горизонту, вверх-вперёд.
Если диск катится влево, все направления меняются на противоположные, а модули остаются такими же.
3. Радиус колеса
Пусть радиус колеса \(R\). Точка на ободе имеет радиус \(R\), точка на 5 см ближе к оси — радиус \(R-0{,}05\) м. Угловая скорость у них одинаковая, поэтому:
\[ \omega R=2{,}5\,\omega(R-0{,}05). \]
Сокращаю на \(\omega\):
\[ R=2{,}5(R-0{,}05), \]
\[ R=2{,}5R-0{,}125, \]
\[ 1{,}5R=0{,}125, \]
\[ R\approx0{,}0833\ \text{м}\approx8{,}3\ \text{см}. \]
4. Пропеллер
Частота:
\[ n=\frac{2000}{60}\approx33{,}3\ \text{с}^{-1}. \]
Угловая скорость:
\[ \omega=2\pi n\approx209\ \text{рад/с}. \]
Скорость конца пропеллера относительно самолёта:
\[ v_{\text{вращ}}=\omega R\approx209\cdot1{,}5\approx314\ \text{м/с}. \]
Скорость самолёта:
\[ v_{\text{сам}}=162\ \text{км/ч}=45\ \text{м/с}. \]
Ось пропеллера направлена вдоль движения самолёта, поэтому вращательная скорость точки перпендикулярна скорости самолёта. Тогда скорость относительно земли:
\[ v=\sqrt{314^2+45^2}\approx317\ \text{м/с}\approx3{,}2\cdot10^2\ \text{м/с}. \]
Если нужна скорость только относительно самолёта, то она равна \(314\) м/с.
5. Самолёт над экватором
Чтобы Солнце всё время находилось в одном и том же положении, самолёт должен компенсировать вращение Земли. Земля вращается с запада на восток, значит самолёт должен лететь с востока на запад, навстречу вращению Земли.
Скорость:
\[ v=\frac{2\pi(R_{\oplus}+h)}{T}, \]
где \(R_{\oplus}\approx6{,}4\cdot10^6\) м — радиус Земли, \(T=24\) ч \(=86400\) с.
При небольшой высоте \(h\):
\[ v\approx\frac{2\pi\cdot6{,}4\cdot10^6}{86400}\approx465\ \text{м/с}\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{км/ч}. \]
6. Верхние точки колеса
При качении без скольжения скорость верхней точки равна сумме поступательной и вращательной:
\[ v_{\text{верх}}=v+\omega R=v+v=2v. \]
\[ v_{\text{верх}}=2\cdot20=40\ \text{км/ч}. \]
То есть полная скорость верхней точки относительно земли — \(40\) км/ч. Если иметь в виду только поступательную составляющую, она равна \(20\) км/ч.
У задачи 1 высокого уровня на фото обрезано условие: видно только «Мальчик вращает камень, привязанный к верёвке длиной 0,5 м…». Пришлите её полностью — решу.
