Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Краткий ответ: \(30\).

В равностороннем треугольнике со стороной \(a\) высота равна

\[ h=\frac{a\sqrt3}{2}. \]

Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Медианы делятся в отношении \(2:1\), поэтому радиус вписанной окружности — это треть высоты:

\[ r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt3}{6}. \]

Подставляем \(r=5\sqrt3\):

\[ 5\sqrt3=\frac{a\sqrt3}{6}. \]

Сокращаем на \(\sqrt3\):

\[ 5=\frac{a}{6},\qquad a=30. \]

Проверка:

\[ r=\frac{30\sqrt3}{6}=5\sqrt3. \]

Значит, длина стороны треугольника равна \(30\).