46(б)
Сверь числа и знаки с фото.
46 Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: б) m и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.
Ответ: \(64^\circ\).
1. Почему \(m\) и \(AD\) — скрещивающиеся прямые
Прямая \(BD\) лежит в плоскости ромба \(ABCD\), а \(m\parallel BD\) и \(m\) не лежит в плоскости ромба.
Если бы \(m\) и \(AD\) лежали в одной плоскости \(\beta\), то через точку \(D\in AD\) в этой плоскости можно было бы провести прямую, параллельную \(m\). Но через \(D\) уже проходит \(BD\parallel m\), значит, эта прямая совпала бы с \(BD\). Тогда плоскость \(\beta\) содержала бы \(AD\) и \(BD\), то есть совпала бы с плоскостью ромба. Получилось бы, что \(m\) лежит в плоскости ромба, а это противоречит условию.
Значит, \(m\) и \(AD\) не лежат в одной плоскости — они скрещиваются.
2. Находим угол
В ромбе соседние углы в сумме дают \(180^\circ\), поэтому
\[ \angle BAD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-128^\circ=52^\circ. \]
В ромбе \(AB=AD\), поэтому треугольник \(ABD\) равнобедренный. Его углы при основании \(BD\) равны:
\[ \angle ADB=\angle ABD=\frac{180^\circ-52^\circ}{2}=64^\circ. \]
Так как \(m\parallel BD\), угол между \(m\) и \(AD\) равен углу между \(BD\) и \(AD\), то есть \(\angle ADB\).
\[ \boxed{64^\circ} \]
Проверка: \(64^\circ+64^\circ+52^\circ=180^\circ\).
Обсуждение
5 сообщенийсократи доказательство для записи
сократи доказательство для записи
Кратко для записи
\(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=128^\circ\), \(m\parallel BD\).
\(m\parallel BD\), поэтому угол между скрещивающимися прямыми \(m\) и \(AD\) равен углу между \(BD\) и \(AD\): \[ \angle(m,AD)=\angle(BD,AD)=\angle ADB. \]
Соседние углы ромба: \[ \angle BAD=180^\circ-128^\circ=52^\circ. \]
В \(\triangle ABD\): \(AB=AD\), значит, \[ \angle ADB=\angle ABD=\frac{180^\circ-52^\circ}{2}=64^\circ. \]
Следовательно, \[ \boxed{64^\circ} \]
(Прямые \(m\) и \(AD\) скрещиваются: если бы они пересекались, то \(m\) лежала бы в плоскости ромба, что невозможно.)
Короткая запись для тетради
\(BD\subset(ABCD)\), \(m\parallel BD\), \(m\not\subset(ABCD)\).
Если бы \(m\) пересекала \(AD\) в точке \(P\), то через \(P\in(ABCD)\) проходила бы прямая, параллельная \(BD\), лежащая в \((ABCD)\). Тогда \(m\subset(ABCD)\), что противоречит условию.
Если бы \(m\parallel AD\), то из \(m\parallel BD\) следовало бы \(AD\parallel BD\), но эти прямые пересекаются в точке \(D\). Противоречие.
Значит, \(m\) и \(AD\) — скрещивающиеся прямые.
Так как \(m\parallel BD\), искомый угол равен \(\angle ADB\). В ромбе \(BD\) — биссектриса угла \(D\), а
\[ \angle ADC=\angle ABC=128^\circ. \]
Поэтому
\[ \angle ADB=\frac{128^\circ}{2}=64^\circ. \]
Ответ: \(64^\circ\).
напиши доказательство кратко
