Разберу подробнее. Главный приём во всех трёх номерах — замена переменной, после которой под корнем оказывается полный квадрат.

Важно помнить: \[ \sqrt{u^2}=|u|, \] а не просто \(u\). Поэтому после замены почти всегда появляются модули.

---

1) \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=6\)

Область определения: \(x\ge 2\), потому что есть \(\sqrt{x-2}\).

Пусть \[ t=\sqrt{x-2},\qquad t\ge0. \] Тогда \[ x=t^2+2. \]

Преобразуем первое подкоренное выражение

\[ x-1-2\sqrt{x-2} =(t^2+2)-1-2t =t^2-2t+1 =(t-1)^2. \] Значит, \[ \sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\sqrt{(t-1)^2}=|t-1|. \]

Преобразуем второе подкоренное выражение

\[ x+7-6\sqrt{x-2} =(t^2+2)+7-6t =t^2-6t+9 =(t-3)^2. \] Значит, \[ \sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=\sqrt{(t-3)^2}=|t-3|. \]

Получаем уравнение: \[ |t-1|+|t-3|=6. \]

Теперь раскрываем модули по промежуткам.

Случай 1: \(0\le t<1\)

Тогда \[ |t-1|=1-t,\qquad |t-3|=3-t. \] Уравнение: \[ 1-t+3-t=6, \] \[ 4-2t=6, \] \[ -2t=2, \] \[ t=-1. \] Но \(t\ge0\), поэтому этот корень не подходит.

Случай 2: \(1\le t\le3\)

Тогда \[ |t-1|=t-1,\qquad |t-3|=3-t. \] Сумма: \[ (t-1)+(3-t)=2. \] А должно быть \(6\). Значит, решений здесь нет.

Случай 3: \(t>3\)

Тогда \[ |t-1|=t-1,\qquad |t-3|=t-3. \] Уравнение: \[ (t-1)+(t-3)=6, \] \[ 2t-4=6, \] \[ 2t=10, \] \[ t=5. \] Это подходит, так как \(5>3\).

Возвращаемся к \(x\): \[ t=\sqrt{x-2}=5. \] Тогда \[ x-2=25, \] \[ x=27. \]

Проверка: \[ \sqrt{27-1-2\cdot5}+\sqrt{27+7-6\cdot5} =\sqrt{16}+\sqrt{4}=4+2=6. \]

Ответ: \(x=27\).

---

2) \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)

Область определения: \(x\ge1\).

Пусть \[ t=\sqrt{x-1},\qquad t\ge0. \] Тогда \[ x=t^2+1. \]

Первое подкоренное выражение

\[ x+3-4\sqrt{x-1} =(t^2+1)+3-4t =t^2-4t+4 =(t-2)^2. \] Поэтому \[ \sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}=|t-2|. \]

Второе подкоренное выражение

\[ x+8-6\sqrt{x-1} =(t^2+1)+8-6t =t^2-6t+9 =(t-3)^2. \] Поэтому \[ \sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=|t-3|. \]

Получаем: \[ |t-2|+|t-3|=1. \]

Здесь можно рассуждать геометрически: \(|t-2|\) — расстояние от \(t\) до \(2\), а \(|t-3|\) — расстояние от \(t\) до \(3\). Их сумма равна \(1\), то есть расстоянию между числами \(2\) и \(3\). Это выполняется, когда \(t\) находится между ними: \[ 2\le t\le3. \]

Можно проверить по промежуткам:

• Если \(0\le t<2\): \[ (2-t)+(3-t)=5-2t. \] Приравниваем к \(1\): \[ 5-2t=1, \] \[ t=2. \] Это граница, попадает в следующий случай.

• Если \(2\le t\le3\): \[ (t-2)+(3-t)=1. \] То есть равенство выполняется всегда.

• Если \(t>3\): \[ (t-2)+(t-3)=2t-5. \] \[ 2t-5=1, \] \[ t=3, \] но это граница.

Значит, \[ 2\le t\le3. \]

Так как \(t=\sqrt{x-1}\), получаем: \[ 2\le \sqrt{x-1}\le3. \] Все части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: \[ 4\le x-1\le9. \] Прибавляем \(1\): \[ 5\le x\le10. \]

Ответ: \[ x\in[5;10]. \]

---

3) \(\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}=4\)

Область определения: \(x\ge-1\).

Пусть \[ t=\sqrt{x+1},\qquad t\ge0. \] Тогда \[ x=t^2-1. \]

Первое подкоренное выражение

\[ x+2+2\sqrt{x+1} =(t^2-1)+2+2t =t^2+2t+1 =(t+1)^2. \] Тогда \[ \sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}} =\sqrt{(t+1)^2} =|t+1|. \] Но \(t\ge0\), поэтому \(t+1>0\), значит, \[ |t+1|=t+1. \]

Второе подкоренное выражение

\[ x+5-4\sqrt{x+1} =(t^2-1)+5-4t =t^2-4t+4 =(t-2)^2. \] Тогда \[ \sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}} =\sqrt{(t-2)^2} =|t-2|. \]

Получаем уравнение: \[ t+1-|t-2|=4. \]

Раскрываем модуль.

Случай 1: \(0\le t\le2\)

Тогда \[ |t-2|=2-t. \] Уравнение: \[ t+1-(2-t)=4, \] \[ t+1-2+t=4, \] \[ 2t-1=4, \] \[ 2t=5, \] \[ t=2{,}5. \] Но \(2{,}5\) не принадлежит промежутку \(0\le t\le2\). Значит, в этом случае решения нет.

Случай 2: \(t\ge2\)

Тогда \[ |t-2|=t-2. \] Получаем: \[ t+1-(t-2)=4, \] \[ t+1-t+2=4, \] \[ 3=4. \] Это невозможно.

Значит, решений нет.

Можно заметить: левая часть \(t+1-|t-2|\) никогда не превосходит \(3\), а должна равняться \(4\). Поэтому корней действительно нет.

Ответ: решений нет.

---

Итог

1. \(\boxed{x=27}\)

2. \(\boxed{x\in[5;10]}\)

3. \(\boxed{\text{решений нет}}\)

Потому что мы сами ввели замену:

\[ t=\sqrt{x-2}. \]

Возведём обе части в квадрат. Так как \(t\ge 0\), это допустимо:

\[ t^2=x-2. \]

Теперь выражаем \(x\):

\[ x=t^2+2. \]

То есть \(t^2\) равно не \(x\), а \(x-2\). Поэтому к обеим частям прибавили \(2\):

\[ x=t^2+2. \]

Проверка на ответе \(x=27\):

\[ t=\sqrt{27-2}=\sqrt{25}=5, \] \[ t^2+2=25+2=27. \]

Такая замена нужна, чтобы избавиться от \(\sqrt{x-2}\) и заменить всё выражение через \(t\). Например:

\[ x-1-2\sqrt{x-2} =(t^2+2)-1-2t =t^2-2t+1 =(t-1)^2. \]

В других номерах аналогично:

• если \(t=\sqrt{x-1}\), то \(t^2=x-1\), значит, \(x=t^2+1\);
• если \(t=\sqrt{x+1}\), то \(t^2=x+1\), значит, \(x=t^2-1\).

Главное: сначала выражаем подкоренное выражение через \(t^2\), затем переносим число, чтобы получить \(x\).

Это следствие замены, а не отдельное преобразование уравнения. Давай по шагам.

Мы ввели: \[ t=\sqrt{x-2}. \]

Это значит, что \(t\) — это корень из \(x-2\), а не сам \(x\).

Возводим обе части в квадрат: \[ t^2=x-2. \]

Теперь нам нужно выразить \(x\). В равенстве \(t^2=x-2\) справа стоит \(x\) с вычтенной двойкой. Чтобы оставить \(x\) одно, прибавляем \(2\) к обеим частям: \[ t^2+2=x. \]

То есть \[ x=t^2+2. \]

Проверим на числе. Пусть \(x=27\). Тогда \[ t=\sqrt{27-2}=\sqrt{25}=5. \] Обратно: \[ x=t^2+2=5^2+2=25+2=27. \] Сходится.

Теперь видно, зачем это нужно. В выражении \[ x-1-2\sqrt{x-2} \] мы заменяем:

• \(x\) на \(t^2+2\);
• \(\sqrt{x-2}\) на \(t\).

Получаем: \[ (t^2+2)-1-2t=t^2-2t+1=(t-1)^2. \]

То есть \(t^2+2\) появилось потому, что из \(t=\sqrt{x-2}\) следует \(x-2=t^2\), а значит, \(x=t^2+2\).

Речь про первую задачу, где мы ввели замену

\[ t=\sqrt{x-2}. \]

Это не готовое выражение для \(x\), а именно замена. Дальше:

\[ t^2=(\sqrt{x-2})^2=x-2. \]

То есть

\[ t^2=x-2. \]

Но нам нужно выразить не \(x-2\), а сам \(x\). Поэтому прибавляем \(2\) к обеим частям:

\[ t^2+2=x-2+2, \]

\[ x=t^2+2. \]

Значит, \(x\) равен \(t^2+2\). Именно поэтому в исходном выражении

\[ x-1-2\sqrt{x-2} \]

мы заменяем \(x\) на \(t^2+2\), а \(\sqrt{x-2}\) на \(t\):

\[ x-1-2\sqrt{x-2} =(t^2+2)-1-2t. \]

Можно проверить на числе. Если \(x=27\), то

\[ t=\sqrt{27-2}=\sqrt{25}=5. \]

Тогда

\[ t^2+2=25+2=27=x. \]

То есть \(+2\) появляется потому, что \(t^2\) равно \(x-2\), а чтобы получить \(x\), нужно прибавить недостающие \(2\).

Ты, скорее всего, про случай 1 в первой задаче:

\[ 0\le t<1. \]

Правило раскрытия модуля такое:

\[ |a|= \begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0. \end{cases} \]

В этом промежутке:

• \(t<1\), значит, \[ t-1<0. \] Поэтому \[ |t-1|=-(t-1)=1-t. \]

• Тем более \(t<3\), значит, \[ t-3<0. \] Поэтому \[ |t-3|=-(t-3)=3-t. \]

Например, если \(t=0{,}5\):

\[ |0{,}5-1|=|-0{,}5|=0{,}5, \] и \[ 1-0{,}5=0{,}5. \]

То есть знаки поменялись потому, что под модулем получилось отрицательное число, а модуль делает его положительным: вместо \(t-1\) пишем \(1-t\).

Такой же принцип в третьей задаче: если \(0\le t\le2\), то \[ t-2\le0, \] поэтому \[ |t-2|=-(t-2)=2-t. \]

А если \(t\ge2\), то \(t-2\ge0\), и уже \[ |t-2|=t-2. \]

То есть знак при раскрытии модуля зависит от того, положительное или отрицательное выражение внутри модуля на данном промежутке.