395. Вычислите:

На фото три номера — 394, 395 и 396. Я решил все.

Краткие ответы

394.
а) 4; б) 9; в) 8; г) 10 000; д) 25; е) 16; ж) 45; з) 392.

395.
а) 121; б) 64; в) 27; г) 36; д) 48; е) 1125; ж) 112; з) 675; и) 8000.

396.
а) 144; б) 225; в) 168; г) 825.

Как решать

Главное правило:
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \] Корень арифметический, поэтому ответ не может быть отрицательным. Если под корнем чётная степень, показатель степени делится на 2, а основание берётся по модулю.

Примеры:

• \(\sqrt{2^4}=\sqrt{(2^2)^2}=2^2=4\);
• \(\sqrt{(-5)^4}=\sqrt{((-5)^2)^2}=|(-5)^2|=25\), а не \(-25\);
• \(\sqrt{(-3)^6}=\sqrt{((-3)^3)^2}=|(-3)^3|=27\);
• \(\sqrt{3^4\cdot5^2}=\sqrt{3^4}\cdot\sqrt{5^2}=3^2\cdot5=45\).

Для произведения корней работает правило: \[ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y},\quad x,y\ge0. \]

В номере 396 нужно разложить число на простые множители. Покажу на первом примере: \[ 20736=2^8\cdot3^4=(2^4\cdot3^2)^2, \] поэтому \[ \sqrt{20736}=2^4\cdot3^2=16\cdot9=144. \]

Остальные аналогично:

• \(50625=3^4\cdot5^4=(3^2\cdot5^2)^2\), корень \(225\);
• \(28224=2^6\cdot3^2\cdot7^2=(2^3\cdot3\cdot7)^2\), корень \(168\);
• \(680625=3^2\cdot5^4\cdot11^2=(3\cdot5^2\cdot11)^2\), корень \(825\).

Проверка: \(144^2=20736\), \(225^2=50625\), \(168^2=28224\), \(825^2=680625\). Всё сходится.

Да, я здесь. По более чёткому фото сверил условие: это те же номера 394–396, и все ответы из предыдущего сообщения совпадают с заданием. Если хочешь, разберу подробнее любой пункт — например, как в № 396 раскладывать число на простые множители.

Оставляю только № 395.

Ответы: а) \(121\); б) \(64\); в) \(27\); г) \(36\); д) \(48\); е) \(1125\); ж) \(112\); з) \(675\); и) \(8000\).

Принцип. Используем главное свойство: \[ \sqrt{a^{2}}=|a|, \] поэтому при чётной степени показатель под корнем уменьшается вдвое, а для отрицательного основания ставится модуль: \[ \sqrt{a^{2k}}=|a|^k. \]

Вычисления:

• а) \(\sqrt{11^4}=11^2=121\);
• б) \(\sqrt{4^6}=4^3=64\);
• в) \(\sqrt{(-3)^6}=\sqrt{((-3)^3)^2}=|(-3)^3|=27\);
• г) \(\sqrt{(-6)^4}=\sqrt{((-6)^2)^2}=|(-6)^2|=36\);
• д) \(\sqrt{2^8\cdot 3^2}=2^4\cdot 3=16\cdot 3=48\);
• е) \(\sqrt{3^4\cdot 5^6}=3^2\cdot 5^3=9\cdot 125=1125\);
• ж) \(\sqrt{7^2\cdot 2^8}=7\cdot 2^4=7\cdot 16=112\);
• з) \(\sqrt{3^6\cdot 5^4}=3^3\cdot 5^2=27\cdot 25=675\);
• и) \(\sqrt{8^4\cdot 5^6}=8^2\cdot 5^3=64\cdot 125=8000\).

Проверка: например, \(112^2=12544\), и \(7^2\cdot2^8=49\cdot256=12544\). Значит, пункт ж решён верно.