Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.

Краткий ответ: \(480\) кв. ед.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому \[ d=34. \]

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где она является гипотенузой. Если \(\alpha\) — угол между стороной и диагональю, то \[ \sin\alpha=\frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{диагональ}}. \]

Значит, одна сторона прямоугольника: \[ b=34\cdot\frac{8}{17}=16. \]

Вторую сторону находим по теореме Пифагора: \[ a=\sqrt{34^2-16^2} =\sqrt{1156-256} =\sqrt{900}=30. \]

Тогда площадь: \[ S=ab=16\cdot30=480. \]

Проверка: \(16^2+30^2=34^2\), а \(\sin\alpha=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}\). Всё сходится.