Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.

Краткий ответ: 480.

Пусть стороны прямоугольника — \(a\) и \(b\), а диагональ — \(d\). У прямоугольника, вписанного в окружность, диагональ является диаметром этой окружности, поэтому

\[ d=34. \]

Рассмотрим угол между стороной \(a\) и диагональю. Синус этого угла равен отношению противолежащей стороны \(b\) к диагонали:

\[ \sin\alpha=\frac{b}{d}=\frac{8}{17}. \]

Отсюда

\[ b=34\cdot\frac{8}{17}=16. \]

Теперь найдём вторую сторону по теореме Пифагора:

\[ a^2+b^2=d^2, \]

\[ a^2=34^2-16^2=1156-256=900, \]

\[ a=30. \]

Площадь прямоугольника:

\[ S=ab=30\cdot16=480. \]

Проверка: \(16^2+30^2=1156=34^2\), а \(\sin\alpha=\frac{16}{34}=\frac{8}{17}\). Всё сходится.