реши с числовой прямой
Сверь числа и знаки с фото.
Реши неравенство и запиши ответ
\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}\).
Ответ: \underline{\phantom{000}}.
Ответ запиши в формате (3; 8]. Если в ответе несколько промежутков, то соедини их символом ∪. Если в ответе отдельное число, то соедини его при помощи символа ∪ следующим образом: (2) ∪ (3; +∞).
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1} \]
ОДЗ: \(x\ge 1\). При \(x\ge1\) обе части положительны, возводим в квадрат:
\[ x+1<2x-1+2\sqrt{x^2-x}\;\Rightarrow\;2-x<2\sqrt{x^2-x}. \]
При \(1\le x\le2\) после возведения: \(4-4x+x^2<4x^2-4x\), то есть \(x^2>\frac43\), откуда \(x>\frac{2}{\sqrt3}\). При \(x>2\) левая часть отрицательна — верно всегда.
Ответ: \(\left(\dfrac{2\sqrt3}{3};\,+\infty\right)\)
Обсуждение
2 сообщениянарисуй числовую прямую
\[ x\in\left(\frac{2\sqrt3}{3};\,+\infty\right),\qquad \frac{2\sqrt3}{3}\approx1{,}155 \]
x=1 2√3/3
─────────────────┼──────○════════════▶ x
Кружок при \(\frac{2\sqrt3}{3}\) выколот, штриховка идёт вправо до \(+\infty\).
