5. Найдите значение выражения: (2⁻⁵·2¹⁶)/2⁷. 6. Упростите выражение: 1/3·√45 + 2√80 − 7√5. 7. Решите уравнение: x² = 49, x² − 7 = 0

Краткие ответы

5. \(16\)
6. \(2\sqrt{5}\)
7. а) \(x=\pm 7\); б) \(x=\pm\sqrt{7}\)
8. \(405\)
9. \(\sqrt{5}+1\)

Как это решается

№ 5. \(\dfrac{2^{-5}\cdot 2^{16}}{2^{7}}\)

Здесь работает одно правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются:

\[ \frac{2^{-5}\cdot 2^{16}}{2^{7}}=2^{-5+16-7}=2^{4}=16 \]

Проверка: \(2^{-5}\cdot 2^{16}=2^{11}=2048\), а \(2048:2^{7}=2048:128=16\). ✔

№ 6. \(\dfrac{1}{3}\sqrt{45}+2\sqrt{80}-7\sqrt{5}\)

Главный приём — «вынести» из-под корня полный квадрат, чтобы все слагаемые стали одинаковыми радикалами:

\[ \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5},\qquad \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5} \]

\[ \frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{5}+2\cdot 4\sqrt{5}-7\sqrt{5} =\sqrt{5}+8\sqrt{5}-7\sqrt{5}=2\sqrt{5} \]

Дальше складываем коэффициенты при \(\sqrt{5}\): \(1+8-7=2\).

№ 7. Уравнения вида \(x^{2}=c\) (при \(c>0\))

Извлекаем корень, но не забываем про минус — подходят оба числа:

\[ x^{2}=49\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{49}=\pm 7 \]

\[ x^{2}-7=0\ \Rightarrow\ x^{2}=7\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{7} \]

Частая ошибка — написать только \(x=7\) (или только \(\sqrt{7}\)). Корней всегда два, если \(c>0\).

№ 8. \(\sqrt{\dfrac{25a^{17}}{a^{9}}}\) при \(a=3\)

Сначала упрощаем до подстановки числа:

\[ \frac{a^{17}}{a^{9}}=a^{17-9}=a^{8} \]

\[ \sqrt{25a^{8}}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{a^{8}}=5a^{4} \]

(Модуль не нужен: \(a^{4}\ge 0\) при любом \(a\).)

Теперь подставляем \(a=3\):

\[ 5\cdot 3^{4}=5\cdot 81=405 \]

№ 9. \(\dfrac{4}{\sqrt{5}-1}\)

Избавляются от иррациональности умножением числителя и знаменателя на сопряжённое выражение \(\sqrt{5}+1\) — тогда в знаменателе сработает формула разности квадратов:

\[ \frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} =\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}=\sqrt{5}+1 \]

Общий шаблон: \(\dfrac{c}{\sqrt{a}-b}\cdot\dfrac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{a}+b}\) — знаменатель становится \(a-b^{2}\), то есть числом.