13. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка

Ответ: 21 раз.

Пусть \(n\) — число промахов. Штрафы за промахи образуют арифметическую прогрессию:

\[ 1;\ 1{,}5;\ 2;\ 2{,}5;\ldots \]

Первый член \(a_1=1\), разность \(d=0{,}5\). Сумма штрафа за \(n\) промахов:

\[ S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr) =\frac{n}{2}\bigl(2+0{,}5(n-1)\bigr) =\frac{n(n+3)}{4}. \]

По условию \(S_n=7\):

\[ \frac{n(n+3)}{4}=7 \quad\Rightarrow\quad n(n+3)=28 \quad\Rightarrow\quad n^2+3n-28=0. \]

Корни уравнения: \(n=4\) и \(n=-7\). Подходит только \(n=4\), значит, стрелок промахнулся 4 раза.

Всего было 25 выстрелов, поэтому попаданий:

\[ 25-4=21. \]

Проверка: \(1+1{,}5+2+2{,}5=7\) — при 4 промахах действительно начисляется 7 штрафных очков.