создай подобные задачи

Краткий ответ

Ниже — аналоги заданий 5–9 с другими числами. Сначала я коротко показываю принцип каждого типа, потом сами задачи и ответы — чтобы ты мог решать новые, а не узнавать старые.

Принципы (что работает в каждом номере)

1. Степени (как №5). При умножении показатели складываются, при делении — вычитаются, отрицательный показатель — это дробь: \[a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\] В образце: \(\frac{2^{-5}\cdot2^{16}}{2^{7}}=2^{-5+16-7}=2^{4}=16\).

2. Корни (как №6). Сначала вынести множитель из-под корня \(\sqrt{a^2b}=a\sqrt b\), потом складывать «подобные»: \(\sqrt{45}=3\sqrt5,\ \sqrt{80}=4\sqrt5\), значит \(\frac13\cdot3\sqrt5+2\cdot4\sqrt5-7\sqrt5=2\sqrt5\).

3. Уравнение \(x^2=a\) (как №7). При \(a>0\) корней два: \(x=\pm\sqrt a\); при \(a=0\) один \(x=0\); при \(a<0\) корней нет. В образце: \(x^2=49\Rightarrow x=\pm7\); \(x^2-7=0\Rightarrow x^2=7\Rightarrow x=\pm\sqrt7\).

4. Корень со степенью (как №8). Сначала сократить дробь под корнем, потом \(\sqrt{a^{2k}}=a^{k}\) (при \(a\ge0\)): \(\sqrt{\frac{25a^{17}}{a^{9}}}=\sqrt{25a^{8}}=5a^{4}\); при \(a=3\) это \(5\cdot81=405\).

5. Иррациональность (как №9). Домножаем на сопряжённое, чтобы сработала формула \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \(\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1\).

Похожие задачи

А. Степени. Найдите значение выражения:

1. \(\dfrac{3^{-4}\cdot3^{11}}{3^{5}}\) 2) \(\dfrac{5^{7}\cdot5^{-2}}{5^{3}}\) 3) \(\dfrac{2^{-3}\cdot2^{9}}{2^{4}}\)

Б. Корни. Упростите выражение:

1. \(\dfrac{1}{2}\sqrt{28}+2\sqrt{63}-5\sqrt{7}\)
2. \(\dfrac{1}{3}\sqrt{18}+2\sqrt{8}-5\sqrt{2}\)
3. \(\dfrac{1}{4}\sqrt{32}+3\sqrt{50}-2\sqrt{2}\)

В. Уравнения. Решите:

1. \(x^2=64\) 2) \(x^2-5=0\) 3) \(x^2+9=0\) 4) \(2x^2=18\)

Г. Корень с переменной. Найдите значение выражения:

1. \(\sqrt{\dfrac{49a^{13}}{a^{7}}}\) при \(a=2\)
2. \(\sqrt{\dfrac{36a^{15}}{a^{9}}}\) при \(a=2\)
3. \(\sqrt{\dfrac{81a^{11}}{a^{3}}}\) при \(a=3\)

Д. Иррациональность. Избавьтесь от иррациональности:

1. \(\dfrac{6}{\sqrt7+2}\) 2) \(\dfrac{3}{\sqrt5+2}\) 3) \(\dfrac{5}{\sqrt6-1}\)

Ответы

А: 1) \(9\); 2) \(25\); 3) \(4\). Б: 1) \(2\sqrt7\); 2) \(0\); 3) \(14\sqrt2\). В: 1) \(\pm8\); 2) \(\pm\sqrt5\); 3) корней нет; 4) \(\pm3\). Г: 1) \(56\); 2) \(48\); 3) \(729\). Д: 1) \(2\sqrt7-4\); 2) \(3\sqrt5-6\); 3) \(\sqrt6+1\).

Проверка

• Степени: \(3^{-4}\cdot3^{11}=3^{7}=2187\), делим на \(3^{5}=243\), получаем \(9\). ✔
• Иррациональность: \((2\sqrt7-4)(\sqrt7+2)=2\cdot7+4\sqrt7-4\sqrt7-8=6\) — исходный числитель. ✔
• Уравнение: \(8^2=64\) и \((-8)^2=64\), оба корня подходят. ✔

Общая идея: в каждом номере сначала приводим к «одному основанию» (степень, множитель, квадрат, сопряжённое), и только потом считаем.