1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°.

Кратко

1. Третья сторона — \(4\) см, площадь — \(8\sqrt{3}\) см².
2. \(AC=7\) см.
3. Треугольник тупоугольный.

№ 1. Пусть стороны \(a=8\), \(b=4\sqrt{3}\), а угол между ними \(\gamma=30^\circ\). Третью сторону находим по теореме косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \] \[ c^2=8^2+(4\sqrt{3})^2-2\cdot8\cdot4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =64+48-96=16, \] значит, \[ c=4\text{ см}. \]

Площадь: \[ S=\frac12 ab\sin\gamma =\frac12\cdot8\cdot4\sqrt{3}\cdot\frac12 =8\sqrt{3}\text{ см}^2. \]

Проверка: \(4^2+(4\sqrt{3})^2=16+48=64=8^2\), стороны согласуются.

№ 2. По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}. \]

Тогда \[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A} =7\sqrt{2}\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin135^\circ}. \]

Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), \(\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), получаем: \[ AC=7\sqrt{2}\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=7\text{ см}. \]

№ 3. Сравниваем квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других: \[ 12^2=144,\qquad 5^2+9^2=25+81=106. \]

Поскольку \[ 144>106, \] угол, лежащий против стороны \(12\) см, тупой. Значит, треугольник тупоугольный.