1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

На фото три пункта — разберу каждый.

Кратко

1. Третья сторона — \(4\) см, площадь — \(8\sqrt3\) см².
2. \(AC=7\) см.
3. Треугольник тупоугольный.

Разбор

1. Пусть две стороны \(a=8\), \(b=4\sqrt3\), а угол между ними \(\gamma=30^\circ\). Третью сторону находим по теореме косинусов: \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \] \[ c^2=8^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\cos30^\circ =64+48-96=16 \] Значит, \(c=4\) см.

Площадь: \[ S=\frac12 ab\sin\gamma =\frac12\cdot8\cdot4\sqrt3\cdot\frac12 =8\sqrt3\ \text{см}^2 \]

2. По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B} \] Тогда \[ AC=\frac{BC\cdot\sin B}{\sin A} =\frac{7\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{\sin135^\circ} =\frac{7\sqrt2\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}} =7 \] Ответ: \(AC=7\) см.

3. Сравниваем квадрат самой большой стороны с суммой квадратов двух других: \[ 12^2=144,\qquad 5^2+9^2=25+81=106 \] Так как \(144>106\), угол против стороны \(12\) см тупой. Значит, треугольник тупоугольный.

Что запомнить: если известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов; если сторона и два угла — теорема синусов; вид треугольника по трём сторонам определяют сравнением квадрата большей стороны с суммой квадратов двух других.