как решать дробно рациональные уравнения и целые уравнения

В примере \(2x^2-5x+2=0\) коэффициенты такие:

\[ a=2,\qquad b=-5,\qquad c=2 \]

Дискриминант считают по формуле \(D=b^2-4ac\). Подставляем:

\[ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2 \]

Сначала квадрат: \((-5)^2=25\). Потом произведение: \(4\cdot 2\cdot 2=16\). Получаем:

\[ D=25-16=9 \]

То есть 16 — это \(4ac = 4\cdot 2\cdot 2\), произведение коэффициента \(a\) и свободного члена \(c\), умноженное на 4.

Дальше корни:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 3}{4} \]

\[ x_1=\frac{8}{4}=2,\qquad x_2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

Частая ошибка — потерять минус: \(b=-5\), но в числителе стоит \(-b=5\), поэтому перед дробью плюс. И ещё следят за знаком \(4ac\): если \(c\) отрицательный, то \(-4ac\) становится плюсом.

Разберу по шагам — там два приёма: вынесение общего множителя и разность квадратов.

Уравнение

\[ x^3-4x=0 \]

Шаг 1. Выносим общий множитель \(x\)

В обоих слагаемых есть \(x\): \(x^3=x\cdot x^2\), а \(4x=x\cdot 4\). Поэтому

\[ x^3-4x=x(x^2-4) \]

Получаем:

\[ x(x^2-4)=0 \]

Шаг 2. Раскладываем скобку по формуле разности квадратов

Формула: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Здесь \(x^2-4=x^2-2^2\), то есть \(a=x\), \(b=2\):

\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]

Подставляем:

\[ x(x-2)(x+2)=0 \]

Шаг 3. Произведение равно нулю

Если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

\[ x=0 \]

\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2 \]

\[ x+2=0 \;\Rightarrow\; x=-2 \]

Ответ: \(x_1=0,\; x_2=2,\; x_3=-2\).

Проверка

Подставим \(x=2\):

\[ 2^3-4\cdot 2=8-8=0 \]

Подставим \(x=-2\):

\[ (-2)^3-4\cdot(-2)=-8+8=0 \]

Подставим \(x=0\):

\[ 0-0=0 \]

Все три корня подходят.

Важный момент

Нельзя было сразу делить обе части на \(x\) — тогда получилось бы \(x^2-4=0\) и корни \(2\) и \(-2\), а корень \(x=0\) потерялся бы. На \(x\) делить нельзя, потому что \(x\) может быть нулём. Именно поэтому выносим множитель, а не делим.

Похожее для тренировки: \(x^3-9x=0\). Вынеси \(x\), а в скобке будет \(x^2-9=x^2-3^2\). Получится \(x(x-3)(x+3)=0\), корни \(0,\;3,\;-3\).

Главная идея — одна

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

\[ \frac{A}{B}=0 \;\Leftrightarrow\; A=0 \text{ и } B\neq 0 \]

Всё остальное в теме — способы привести уравнение к такому виду. Разберём от простого к сложному.

Уровень 1. Одна дробь

\[ \frac{x-3}{x+1}=0 \]

Дробь равна нулю, когда верх равен нулю:

\[ x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3 \]

Но проверяем низ: \(x+1=3+1=4\neq 0\) — годится.

Ответ: \(x=3\).

А если бы уравнение было \(\frac{x+1}{x+1}=0\), то верх даёт \(x=-1\), но при \(x=-1\) низ тоже ноль. Такой \(x\) не подходит, и уравнение вообще не имеет корней.

Уровень 2. Зачем нужен общий знаменатель

Складывать дроби можно только с одинаковым низом. Поэтому сначала делаем низ одинаковым, потом складываем.

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2} \]

Смотрим на низы: \(x\), \(x+3\), \(2\). Общий знаменатель — \(2x(x+3)\): он делится на каждый из трёх.

Домножаем каждую дробь, чтобы получить этот низ:

\[ \frac{1}{x}=\frac{2(x+3)}{2x(x+3)},\qquad \frac{1}{x+3}=\frac{2x}{2x(x+3)},\qquad \frac{1}{2}=\frac{x(x+3)}{2x(x+3)} \]

Теперь низы одинаковые — можно записать одной дробью:

\[ \frac{2(x+3)+2x-x(x+3)}{2x(x+3)}=0 \]

Уровень 3. Работаем только с верхом

По главной идее низ не должен быть нулём, а верх должен. Низ отбрасываем, верх считаем:

\[ 2(x+3)+2x-x(x+3)=0 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x+6+2x-x^2-3x=0 \]

\[ -x^2+x+6=0 \]

Умножим на \(-1\), чтобы было привычнее:

\[ x^2-x-6=0 \]

\[ D=1+24=25,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2} \]

\[ x_1=3,\qquad x_2=-2 \]

Уровень 4. Проверка — обязательный шаг

Запрещённые значения: \(x=0\) и \(x=-3\) (при них низ обращается в ноль). Наши корни \(3\) и \(-2\) в запрет не попали — оба подходят.

Проверим подстановкой \(x=3\):

\[ \frac13+\frac16=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac12 \]

Верно. И \(x=-2\):

\[ \frac{1}{-2}+\frac{1}{1}=-\frac12+1=\frac12 \]

Тоже верно.

Ответ: \(x_1=3,\; x_2=-2\).

Откуда берутся «посторонние» корни

\[ \frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2} \]

Низы одинаковые, поэтому приравниваем верх:

\[ x^2=4 \;\Rightarrow\; x=2 \text{ или } x=-2 \]

Но при \(x=2\) знаменатель \(x-2=0\) — делить на ноль нельзя. Значит, \(x=2\) не решение, хотя формально получился при решении. Остаётся только \(x=-2\).

Вот почему в дробных уравнениях проверка входит в алгоритм, а не делается «по желанию».

Шпаргалка-алгоритм

1. Выписать запрещённые \(x\) (где низ равен нулю).
2. Привести всё к общему знаменателю.
3. Отбросить знаменатель, решить уравнение из числителя.
4. Вычеркнуть корни из списка запрещённых.
5. Проверить оставшиеся подстановкой.

Попробуй сам: \(\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x-1}\). Ответ должен получиться \(x=2\) (корень \(x=1\) отбрасывается как запрещённый). Скажи, если нужно разобрать ещё пример — например, с квадратным знаменателем вроде \(x^2-9\).

Держи максимально сжато — левая ладонь и правая.

🖐 Левая — целые уравнения

1. Всё влево, справа \(0\).
2. Квадратное \(ax^2+bx+c=0\): \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \] \(D<0\) — корней нет; \(D=0\) — один корень.
3. Быстро через Виета: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}\).
4. Степень \(\ge 3\): общий множитель → \((a-b)(a+b)\), \((a\pm b)^2\) → замена \(t=x^2\).
5. \(A\cdot B=0 \Rightarrow A=0\) или \(B=0\). На \(x\) не делить — теряется корень \(0\).

🖐 Правая — дробно-рациональные

0. Сразу выписать ОДЗ: знаменатели \(\ne 0\).
1. Привести к общему знаменателю.
2. \(\dfrac{A}{B}=0 \Leftrightarrow A=0,\ B\ne 0\).
3. Решить верх.
4. Вычеркнуть корни из ОДЗ.
5. Подстановка в исходное — 10 секунд.

Аналогия одной фразой: целое — «собрать слева и развалить на скобки»; дробное — «то же самое, но сначала запреты, в конце — вычеркнуть».

Два шаблона, которые закрывают почти всё

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac12 \;\Rightarrow\; 2(x+3)+2x=x(x+3) \] \[ \frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2} \;\Rightarrow\; x^2=4,\ x\ne 2 \;\Rightarrow\; x=-2 \]

Красные флаги: поделил на \(x\); забыл ОДЗ; при \(D<0\) написал корни; потерял минус перед \(b\) (\(-b\) при \(b=-5\) даёт \(+5\)).

Перепиши это своей рукой один раз — на самостоятельной всплывёт само. Хочешь, дам 3 коротких уравнения ровно под этот алгоритм для тренировки.

1. \(x^3-5x^2+4x=0\)

\(x(x^2-5x+4)=0\), \(x(x-1)(x-4)=0\)

Ответ: \(x=0;\ 1;\ 4\).

2. \(\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}\), ОДЗ: \(x\ne\pm1\)

\(2(x+1)+(x-1)=3\)

\(3x+1=3\), \(x=\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(x=\dfrac{2}{3}\).

3. \(\dfrac{x^2+4}{x-2}=\dfrac{4x}{x-2}\), ОДЗ: \(x\ne2\)

\(x^2+4=4x\), \(x^2-4x+4=0\), \((x-2)^2=0\), \(x=2\) — запрещён

Ответ: корней нет.

Разберу обе страницы по порядку. Слева — целые (переменной в знаменателе нет), справа — дробные (переменная в знаменателе, поэтому нужна ОДЗ).

Левая страница — целые

1) \( \dfrac{2x+3}{5}=5x \)

Умножаем обе части на 5:

\( 2x+3=25x \)

\( 23x=3 \)

\( x=\dfrac{3}{23} \)

2) \( x^2+6x+8=0 \)

Раскладываем на множители:

\( (x+2)(x+4)=0 \)

\( x_1=-2,\quad x_2=-4 \)

3) \( \dfrac{x+5}{4}=\dfrac{x-9}{6} \)

Умножаем крест-накрест:

\( 6(x+5)=4(x-9) \)

\( 6x+30=4x-36 \)

\( 2x=-66 \)

\( x=-33 \)

Правая страница — дробные

1) \( \dfrac{2x+3}{5+x}=4x \), ОДЗ: \(x\neq-5\)

\( 2x+3=4x(5+x) \)

\( 2x+3=20x+4x^2 \)

\( 4x^2+18x-3=0 \)

\( D=18^2-4\cdot4\cdot(-3)=324+48=372 \)

\( x=\dfrac{-18\pm\sqrt{372}}{8}=\dfrac{-9\pm\sqrt{93}}{4} \)

Оба корня не равны \(-5\), подходят.

Ответ: \(x=\dfrac{-9\pm\sqrt{93}}{4}\)

2) \( \dfrac{x^2+6x+8}{x+2}=0 \), ОДЗ: \(x\neq-2\)

Числитель равен нулю:

\( x^2+6x+8=0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x+4)=0 \)

\( x=-2 \) — запрещён (обнуляет знаменатель), \( x=-4 \) — подходит.

Ответ: \(x=-4\)

3) \( \dfrac{x+5}{4x}=\dfrac{x-9}{6} \), ОДЗ: \(x\neq0\)

\( 6(x+5)=4x(x-9) \)

\( 6x+30=4x^2-36x \)

\( 4x^2-42x-30=0 \quad |\; :2 \)

\( 2x^2-21x-15=0 \)

\( D=21^2+4\cdot2\cdot15=441+120=561 \)

\( x=\dfrac{21\pm\sqrt{561}}{4} \)

Оба корня не равны \(0\), подходят.

Ответ: \(x=\dfrac{21\pm\sqrt{561}}{4}\)

Что здесь главное

Правая колонка — те же номера, но с \(x\) в знаменателе. Поэтому в № 2 справа корень \(x=-2\), который в левом варианте был нормальным ответом, здесь вычёркивается: он делает знаменатель нулём. В № 1 и № 3 справа дискриминанты некрасивые (\(372\) и \(561\)), корни с радикалами — это нормально, их так и оставляют.

Держи в сжатом виде — по строке на номер.

Левая (целые)

1. \(2x+3=25x \Rightarrow x=\frac{3}{23}\)

2. \((x+2)(x+4)=0 \Rightarrow -2;\ -4\)

3. \(6(x+5)=4(x-9) \Rightarrow x=-33\)

Правая (дробные)

1. \(4x^2+18x-3=0 \Rightarrow x=\frac{-9\pm\sqrt{93}}{4}\)

2. \((x+2)(x+4)=0,\ x\ne-2 \Rightarrow x=-4\)

3. \(2x^2-21x-15=0 \Rightarrow x=\frac{21\pm\sqrt{561}}{4}\)

Сам алгоритм — 4 строки

• ОДЗ: знаменатель \(\ne0\)
• \(\frac{A}{B}=0 \Leftrightarrow A=0\)
• крест-накрест: \(ad=bc\)
• корень из ОДЗ — вычеркнуть

Если места совсем нет — оставь только блок «Правая» и алгоритм: левая колонка решается тем же, просто без вычёркивания. Сказать, какие шаги писать в самой работе, чтобы учитель засчитал?

Так и запиши в работу — по одной-две строки на номер.

Левая (целые)

1) \(\dfrac{2x+3}{5}=5x \;\Rightarrow\; 2x+3=25x \;\Rightarrow\; x=\dfrac{3}{23}\)

2) \(x^2+6x+8=0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x+4)=0 \;\Rightarrow\; x_1=-2,\; x_2=-4\)

3) \(\dfrac{x+5}{4}=\dfrac{x-9}{6} \;\Rightarrow\; 6(x+5)=4(x-9) \;\Rightarrow\; x=-33\)

Правая (дробные)

1) \(\dfrac{2x+3}{5+x}=4x\); ОДЗ: \(x\ne-5\)

\(2x+3=20x+4x^2 \;\Rightarrow\; 4x^2+18x-3=0\)

\(D=372,\quad x_{1,2}=\dfrac{-9\pm\sqrt{93}}{4}\) — оба корня в ОДЗ.

2) \(\dfrac{x^2+6x+8}{x+2}=0\); ОДЗ: \(x\ne-2\)

\(x^2+6x+8=0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x+4)=0\)

\(x=-2\) — посторонний, \(x=-4\).

3) \(\dfrac{x+5}{4x}=\dfrac{x-9}{6}\); ОДЗ: \(x\ne0\)

\(6(x+5)=4x(x-9) \;\Rightarrow\; 2x^2-21x-15=0\)

\(D=561,\quad x_{1,2}=\dfrac{21\pm\sqrt{561}}{4}\) — оба в ОДЗ.

Понял. Проблема в том, что «аналогия» — это не про то, что уравнения одинаковые, а про то, что шаги одни и те же, меняются только числа. Покажу это на одном номере, подписывая каждый шаг номером из шпаргалки.

Разбор в слоу-мо: \(\dfrac{x+5}{4x}=\dfrac{x-9}{6}\)

Шаг 0 — смотрю на знаменатели. Внизу \(4x\) и \(6\). Есть \(x\) в знаменателе → значит, дробное → нужна ОДЗ.

\(4x\ne0 \;\Rightarrow\; x\ne0\)

Больше запретов нет.

Шаг 1 — избавляюсь от дробей. Две дроби через знак равенства — это пропорция:

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \;\Leftrightarrow\; ad=bc \]

То есть верх левой умножить на низ правой, и наоборот. Получаем:

\[ (x+5)\cdot 6=(x-9)\cdot 4x \]

Шаг 2 — раскрываю скобки и собираю всё влево.

\[ 6x+30=4x^2-36x \]

\[ 0=4x^2-36x-6x-30 \]

\[ 4x^2-42x-30=0 \]

Делю на 2, чтобы числа были меньше:

\[ 2x^2-21x-15=0 \]

Шаг 3 — решаю квадратное по формуле.

\[ D=(-21)^2-4\cdot2\cdot(-15)=441+120=561 \]

\[ x_{1,2}=\frac{21\pm\sqrt{561}}{4} \]

Шаг 4 — сверяю с ОДЗ. Запрещён только \(0\), а наши корни не ноль. Значит, оба идут в ответ.

Вот и всё. Четыре шага, и каждый — из шпаргалки.

Теперь та же задача, но без \(x\) внизу

\[ \frac{x+5}{4}=\frac{x-9}{6} \]

Шаг 0: внизу \(4\) и \(6\), \(x\) нет → ОДЗ не нужно.

Шаг 1: крест-накрест:

\[ 6(x+5)=4(x-9) \]

Шаг 2:

\[ 6x+30=4x-36 \;\Rightarrow\; 2x=-66 \]

Шаг 3: тут даже дискриминант не нужен, уравнение линейное:

\[ x=-33 \]

Шаг 4: проверять нечего, запретов нет.

В чём аналогия

Сравни два разбора: шаги 1, 2, 3 одинаковые. Разница только в шаге 0 и 4 — появился ли \(x\) в знаменателе. Поэтому на самостоятельной не надо вспоминать «как решать такой тип» — надо задать себе три вопроса:

1. Есть \(x\) в знаменателе? Да → выпиши ОДЗ. Нет → пропусти.
2. Две дроби через равно? Да → крест-накрест \(ad=bc\). Нет (сумма дробей) → общий знаменатель.
3. Что получилось? Степень 1 → выражай \(x\). Степень 2 → дискриминант.

Попробуй на этом, оно совсем короткое:

\[ \frac{3}{x}=\frac{5}{x+2} \]

Крест-накрест даст \(3(x+2)=5x\). Дорешай — и скажи, что получилось, я проверю.

В уравнении

\[ 6(x+5)=4(x-9) \]

сначала раскрываем скобки:

\[ 6x+30=4x-36 \]

Дальше собираем \(x\) слева, числа справа. При переносе через знак равенства знак меняется:

\[ 6x-4x=-36-30 \]

Считаем обе части:

\[ 6x-4x=2x \]

\[ -36-30=-66 \]

Получаем:

\[ 2x=-66 \]

\[ x=-33 \]

То есть \(-66\) — это сумма \(-36\) и \(-30\), два числа, которые оказались справа после переноса. Минус на минус при сложении даёт минус, поэтому \(-36-30=-66\), а не \(-6\) и не \(66\).

Частая ошибка здесь — при переносе \(4x\) влево забыть поменять знак: если оставить \(6x+4x\), получится \(10x\), и ответ будет неверным. Проверка подстановкой \(x=-33\):

\[ 6(-33+5)=6\cdot(-28)=-168 \]

\[ 4(-33-9)=4\cdot(-42)=-168 \]

Обе части равны — корень найден верно.

Хороший вопрос — и ответ обнадёживающий: видов уравнений в школьном курсе немного, и все они сводятся к линейному или квадратному. Поэтому не надо учить «как решать каждый вид», надо научиться задавать себе несколько вопросов-фильтров.

Фильтр: 4 вопроса к любому уравнению

Вопрос 1. Есть \(x\) в знаменателе? Да → выписываю ОДЗ, привожу к общему знаменателю, дальше работаю с числителем.

Вопрос 2. Есть модуль? Да → раскрываю на два случая.

Вопрос 3. Стоит произведение скобок, равное нулю? Да → каждая скобка = 0 (как в примере 2).

Вопрос 4. Степень выше второй, но только чётная (\(x^4\), \(x^6\))? Да → замена \(t=x^2\).

Если ни то, ни другое, ни третье → раскрываю скобки, всё влево, справа 0 → получаю линейное или квадратное и решаю по шпаргалке.

Как это выглядит на «других видах»

Биквадратное (вопрос 4):

\[ x^4-13x^2+36=0 \]

Замена \(t=x^2\), \(t\ge0\):

\[ t^2-13t+36=0 \;\Rightarrow\; t=4 \text{ или } t=9 \]

Возврат:

\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]

С модулем (вопрос 2):

\[ |x-3|=5 \]

Два случая:

\[ x-3=5 \Rightarrow x=8;\qquad x-3=-5 \Rightarrow x=-2 \]

Произведение скобок = 0 (вопрос 3):

\[ (x-1)(x+2)(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=1,\;-2,\;3 \]

Дробное, но в правой части не дробь (вопрос 1):

\[ \frac{x}{x-2}=3,\quad x\ne2 \]

\[ x=3(x-2) \;\Rightarrow\; x=3x-6 \;\Rightarrow\; x=3 \]

Дробное со «спрятанным» запретом:

\[ \frac{x^2-1}{x+1}=x-1,\quad x\ne-1 \]

Верх раскладывается: \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\) — при \(x\ne-1\) это тождество, то есть подходят все \(x\), кроме \(-1\). Такое тоже бывает в заданиях, не пугайся.

Что делать, если вид совсем незнакомый

Универсальный приём, который работает почти всегда: перенеси всё в левую часть, чтобы справа был 0, и попробуй разложить левую часть на множители (общий множитель, формулы сокращённого умножения, группировка). Как только получилось \(A\cdot B=0\) — уравнение распадается на простые.

\[ x^3-x^2-4x+4=0 \]

Группировка:

\[ x^2(x-1)-4(x-1)=0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x^2-4)=0 \]

\[ x=1,\quad x=\pm2 \]

Итог

Ты не «угадываешь вид» — ты прогоняешь уравнение через фильтр: знаменатель → модуль → произведение → чётная степень → иначе всё влево. А внутри всегда оказывается либо \(kx+b=0\), либо \(ax^2+bx+c=0\).

Если хочешь, пришли конкретное «другое» уравнение из учебника — покажу, какой фильтр к нему применить и как это выглядит в записи на самостоятельной.

Хороший вопрос — он самый важный. На самостоятельной никто не пишет над номером «это дробно-рациональное». Поэтому тип не угадывают, а определяют тремя вопросами — и дальше шаги сами выстраиваются.

Опознаватель: 3 вопроса к любому уравнению

Вопрос 1. Есть \(x\) под чертой дроби?

• Нет → целое. Никакой ОДЗ, просто собираем всё слева.
• Да → выписываем ОДЗ сразу, первой строкой.

Вопрос 2. Как устроены дроби?

• Одна дробь \(=0\) → приравниваем числитель к нулю.
• Две дроби через \(=\) → крест-накрест \(ad=bc\).
• Сумма или разность дробей → общий знаменатель.

Вопрос 3. Какая степень получилась?

• \(x\) в первой → выражаем.
• \(x^2\) → дискриминант или Виета.
• \(x^4\) и \(x^2\) → замена \(t=x^2\).

Всё. Дальше вид определяется сам, запоминать названия не нужно.

Таблица «выглядит так → делай так»

Как выглядит	Что делать
\(5(x-2)=3x+4\)	скобки, \(x\) влево, числа вправо: \(2x=14\), \(x=7\)
\(3x^2-12=0\)	без \(b\): \(x^2=4\), \(x=\pm2\)
\(x^2-5x+6=0\)	\(D\) или Виета: \(x_1=2,\ x_2=3\)
\(x^4-13x^2+36=0\)	\(t=x^2\), потом обратно
\(x^3-2x^2-x+2=0\)	группировка: \(x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)\)
\(\dfrac{x^2-9}{x-3}=0\)	верх \(=0\): \(x=\pm3\); \(x=3\) в ОДЗ запрещён → ответ \(x=-3\)
\(\dfrac{x+1}{x-2}=3\)	умножь обе части на \(x-2\): \(x+1=3(x-2)\)
\(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}\)	общий знаменатель \((x-1)(x+1)\), т.к. \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Перенос навыка: три незнакомых вида

1) \(\dfrac{x+1}{x-2}=3\), ОДЗ: \(x\ne2\)

\[ x+1=3(x-2) \;\Rightarrow\; x+1=3x-6 \;\Rightarrow\; -2x=-7 \;\Rightarrow\; x=3{,}5 \]

2) \(x^4-13x^2+36=0\)

\[ t=x^2:\quad t^2-13t+36=0 \;\Rightarrow\; t=4 \text{ или } t=9 \]

\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2;\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]

3) \(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}\), ОДЗ: \(x\ne\pm1\)

Общий знаменатель \((x-1)(x+1)\):

\[ (x+1)+2(x-1)=3 \]

\[ 3x-1=3 \;\Rightarrow\; x=\frac{4}{3} \]

Корень в ОДЗ не попал — подходит.

Три ловушки, которые работают на любом виде

• Посторонний корень: если \(x\) из ответа обнуляет знаменатель — вычёркиваем, даже если он «красивый».
• Нельзя делить на \(x\): из \(x^3-4x=0\) деление на \(x\) съедает корень \(0\).
• \(D<0\) — пишем «корней нет», а не «\(x\) равно чему-то».

Смысл такой: разных видов уравнений много, а решений всего четыре — крест-накрест, общий знаменатель, приравнять числитель к нулю, разложить на множители. Всё остальное — арифметика.

Скинь 3–4 номера, которые вызывают сомнение, — разберу их этим же опознавателем, и станет видно, что схема держит любой вид.