номер 484

Question

номер 484

Расшифровка фото нейросетью:
484 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Answer

Кратко: если $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$ в треугольнике $ABC$, то

$$
MN\parallel BC,\qquad MN=\frac{1}{2}BC.
$$

Доказательство (без подобия)

1. Проведём через $C$ прямую, параллельную $AB$, и продлим $MN$ до пересечения с ней в точке $D$.

2. Рассмотрим треугольники $AMN$ и $CDN$:

$AN=NC$, так как $N$ — середина $AC$;

$\angle MAN=\angle DCN$ — накрест лежащие при $AB\parallel CD$ и секущей $AC$;

$\angle ANM=\angle CND$ — вертикальные.

Значит, $\triangle AMN=\triangle CDN$ по стороне и двум прилежащим углам.

3. Из равенства треугольников: $AM=CD$ и $MN=ND$. Но $AM=MB$, поэтому $MB=CD$. При этом $MB\parallel CD$ (обе лежат на прямых, параллельных $AB$).

4. В четырёхугольнике $MBCD$ две стороны равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Отсюда $MD\parallel BC$ и $MD=BC$.

5. Точка $N$ — середина $MD$, так как $MN=ND$. Поэтому $MD=2MN$. Получаем:
$$
2MN=BC \quad\Rightarrow\quad MN=\frac{1}{2}BC.
$$
А так как $MN$ лежит на $MD$, то $MN\parallel BC$. Оба свойства доказаны.

Проверка на примере

Возьмём $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(0;6)$. Тогда $M(2;0)$, $N(0;3)$:

$$
MN=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},\qquad BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}.
$$

Действительно, $MN=\frac{1}{2}BC$. Вектор $\overrightarrow{MN}=(-2;3)$, а $\overrightarrow{BC}=(-4;6)=2\overrightarrow{MN}$, то есть векторы коллинеарны — прямые параллельны.

Если подобие уже изучено, есть короткий путь: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac12$, угол $A$ общий, поэтому $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ с коэффициентом $\frac12$. Тогда $\angle AMN=\angle ABC$, откуда $MN\parallel BC$, и $MN=\frac12 BC$.