решить
Сверь числа и знаки с фото.
8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»
Билет №1
- Дайте определение четырехугольника. Как обозначают четырехугольник?
- Нарисуй рисунки к свойствам параллелограмма
- Каким особым свойством обладают диагонали прямоугольника?
- Какую фигуру называют ромбом?
- Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 76°; 87°; 94°.
- Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 3 раза больше другой, а периметр параллелограмма равен 48 см.
- Найдите углы параллелограмма, если один из них на 58° больше другого.
- Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 120°, а диагональ BD = 12см.
- Диагональ BD квадрата ABCD равна 5 см. найдите длину диагонали AC этого квадрата.
Билет №2
- Что называют периметром четырехугольника?
- Перечисли свойства параллелограмма
- Нарисуй рисунки к свойствам прямоугольника
- Какую фигуру называют квадратом?
- Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 67°; 89°; 96°.
- Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 5 раза больше другой, а периметр параллелограмма равен 60 см.
- Найдите углы параллелограмма, если один из них на 62° меньше другого.
- Найдите периметр ромба ABCD, если угол C равен 60°, а диагональ BD = 14см.
- Диагональ BD квадрата ABCD равна 7 см. найдите длину диагонали AC этого квадрата.
Билет №3
- Что называют диагональю четырехугольника?
- Какой четырехугольник называют параллелограммом?
- По каким признакам можно установить, что параллелограмм является прямоугольником?
- Какими свойствами обладает ромб?
- Найдите четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 56°; 87°; 94°.
- Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 3 раза больше другой, а периметр параллелограмма равен 48 см.
- Найдите углы параллелограмма, если один из них на 58° больше другого.
- Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 120°, а диагональ BD = 12см.
- Диагональ BD квадрата ABCD равна 5 см. найдите длину диагонали AC этого квадрата.
На фото три билета, номер не указан. Я разобрал все три: в таблице — краткие ответы к задачам 5–9, ниже — теория и объяснение.
| Билет | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| №1 | \(103^\circ\) | \(6\) и \(18\) см | \(61^\circ\) и \(119^\circ\) | \(48\) см | \(5\) см |
| №2 | \(108^\circ\) | \(5\) и \(25\) см | \(59^\circ\) и \(121^\circ\) | \(56\) см | \(7\) см |
| №3 | \(123^\circ\) | \(6\) и \(18\) см | \(61^\circ\) и \(119^\circ\) | \(48\) см | \(5\) см |
Теория, задания 1–4
Билет №1
Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. Обозначают перечислением вершин по порядку: \(ABCD\).
На рисунках к свойствам параллелограмма покажи:
\(AB=CD\), \(BC=AD\); \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\);
\(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\);
\(\angle A+\angle B=180^\circ\);
диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OC\), \(BO=OD\).Особое свойство диагоналей прямоугольника: они равны.
То есть \(AC=BD\).Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Билет №2
Периметр четырёхугольника — сумма длин всех его сторон.
Свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны; противоположные углы равны; соседние углы в сумме дают \(180^\circ\); диагонали точкой пересечения делятся пополам.
На рисунках к свойствам прямоугольника покажи: все углы прямые; противоположные стороны равны; диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые.
Билет №3
Диагональ четырёхугольника — отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Параллелограмм является прямоугольником, если у него есть прямой угол или если его диагонали равны.
Свойства ромба: все стороны равны; диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам; диагонали точкой пересечения делятся пополам; противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\).
Задачи 5–9: как получены ответы
№5. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), поэтому вычитаем сумму трёх известных углов:
- билет №1: \(360^\circ-(76^\circ+87^\circ+94^\circ)=103^\circ\);
- билет №2: \(360^\circ-(67^\circ+89^\circ+96^\circ)=108^\circ\);
- билет №3: \(360^\circ-(56^\circ+87^\circ+94^\circ)=123^\circ\).
№6. Пусть меньшая сторона параллелограмма \(x\), тогда большая — \(3x\) или \(5x\). Периметр параллелограмма равен \(2(a+b)\).
Для билетов №1 и №3: \[ 2(x+3x)=48 \Rightarrow 8x=48 \Rightarrow x=6. \] Стороны: \(6\) см и \(18\) см.
Для билета №2: \[ 2(x+5x)=60 \Rightarrow 12x=60 \Rightarrow x=5. \] Стороны: \(5\) см и \(25\) см.
№7. Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), а противоположные равны.
Для билетов №1 и №3: \[ x+(x+58^\circ)=180^\circ \Rightarrow 2x=122^\circ \Rightarrow x=61^\circ. \] Углы: по \(61^\circ\) и по \(119^\circ\).
Для билета №2: \[ x+(x+62^\circ)=180^\circ \Rightarrow 2x=118^\circ \Rightarrow x=59^\circ. \] Углы: по \(59^\circ\) и по \(121^\circ\).
№8. В ромбе все стороны равны. Если \(\angle C=60^\circ\), то треугольник \(BCD\) равносторонний, поэтому \(BD=BC=CD\).
- В билетах №1 и №3: \(\angle B=120^\circ\), значит, \(\angle C=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Тогда сторона ромба равна \(12\) см, периметр \(4\cdot12=48\) см.
- В билете №2: \(\angle C=60^\circ\) дан, \(BD=14\) см, значит, сторона ромба \(14\) см, периметр \(4\cdot14=56\) см.
№9. Диагонали квадрата равны, поэтому \(AC=BD\):
- в билетах №1 и №3: \(AC=5\) см;
- в билете №2: \(AC=7\) см.
Проверка: суммы углов четырёхугольников дают \(360^\circ\); \(2(6+18)=48\), \(2(5+25)=60\); периметры ромбов \(4\cdot12=48\) и \(4\cdot14=56\).
