4. √(34+x)+√(34−x)=x/√(34+x)+x/√(34−x)

Краткий ответ: \(x=17\sqrt2\).

На фото в номере 4 читается:

\[ \sqrt{34+x}+\sqrt{34-x}=\frac{x}{\sqrt{34+x}}+\frac{x}{\sqrt{34-x}}. \]

Как решать

1. ОДЗ. Корни стоят и в числителях, и в знаменателях, поэтому: \[ 34+x>0,\qquad 34-x>0 \quad\Rightarrow\quad -34<x<34. \]

2. Замена. Пусть \[ a=\sqrt{34+x}>0,\qquad b=\sqrt{34-x}>0. \] Тогда \[ a^2=34+x,\qquad b^2=34-x, \] откуда \[ a^2+b^2=68,\qquad a^2-b^2=2x. \]

3. Перепишем уравнение через \(a\) и \(b\): \[ a+b=\frac{x}{a}+\frac{x}{b} =x\left(\frac1a+\frac1b\right) =x\cdot\frac{a+b}{ab}. \] Так как \(a+b>0\), можно разделить на \(a+b\): \[ 1=\frac{x}{ab}\quad\Rightarrow\quad ab=x. \]

4. Возвращаемся к \(x\): \[ ab=\sqrt{(34+x)(34-x)}=\sqrt{34^2-x^2}=\sqrt{1156-x^2}. \] Значит, \[ \sqrt{1156-x^2}=x. \] Слева корень неотрицателен, поэтому \(x>0\). Возводим в квадрат: \[ 1156-x^2=x^2, \] \[ 2x^2=1156, \] \[ x^2=578, \] \[ x=17\sqrt2. \] Отрицательный корень \(x=-17\sqrt2\) не подходит, так как \(x>0\).

5. Проверка. При \(x=17\sqrt2\): \[ ab=\sqrt{1156-578}=\sqrt{578}=17\sqrt2=x. \] Тогда \[ \frac{x}{a}+\frac{x}{b} =x\cdot\frac{a+b}{ab} =a+b, \] то есть правая часть равна левой. Корень подходит.

Ответ: \(\boxed{17\sqrt2}\).