1211. Преобразуйте в произведение: а) (6a⁻⁵b)⁻¹; б) (3/4 a⁻¹b⁻³)⁻²; в) (−0,3x⁻⁵y⁴)⁻²; г) (7/8 p⁻⁶q)⁻¹.

На фото подчёркнут номер 1211, поэтому решаю его.

Краткий ответ — в виде произведения: а) \(\dfrac16 a^5b^{-1}\) (то же: \(\dfrac{a^5}{6b}\));

б) \(\dfrac{16}{9}a^2b^6\);

в) \(\dfrac{100}{9}x^{10}y^{-8}\) (то же: \(\dfrac{100x^{10}}{9y^8}\));

г) \(\dfrac87 p^6q^{-1}\) (то же: \(\dfrac{8p^6}{7q}\)).

Почему так

Используем правила:

\[ (kx^my^n)^r=k^r x^{mr}y^{nr},\qquad (x^m)^r=x^{mr},\qquad x^{-m}=\frac1{x^m}. \]

То есть внешний показатель умножается на показатель каждой степени, а минус в показателе означает обратную величину.

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad (6a^{-5}b)^{-1} &=6^{-1}a^{5}b^{-1} =\frac16a^5b^{-1};\\[2mm] \text{б)}\quad \left(\frac34a^{-1}b^{-3}\right)^{-2} &=\left(\frac34\right)^{-2}a^{2}b^{6} =\left(\frac43\right)^2a^2b^6 =\frac{16}{9}a^2b^6;\\[2mm] \text{в)}\quad (-0{,}3x^{-5}y^4)^{-2} &=(-0{,}3)^{-2}x^{10}y^{-8} =\frac{100}{9}x^{10}y^{-8};\\[2mm] \text{г)}\quad \left(\frac78p^{-6}q\right)^{-1} &=\left(\frac78\right)^{-1}p^{6}q^{-1} =\frac87p^6q^{-1}. \end{aligned} \]

В пункте в) ответ положительный: \((-0{,}3)^{-2}=\dfrac1{(-0{,}3)^2}>0\), так как показатель \(-2\) чётный.

Проверка: если подставить все переменные равными \(1\), получатся соответственно \(\frac16\), \(\frac{16}{9}\), \(\frac{100}{9}\), \(\frac87\) — как в исходных, так и в полученных выражениях.