6)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- [Рисунок: прямоугольник ABCD, вершины B и C сверху, A и D снизу; проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. Слева от O отмечен угол α; в верхней части справа указано 25°; в нижней части справа от O отмечен угол β.]
Краткий ответ: \(\alpha=50^\circ,\quad \beta=25^\circ\).
Почему так
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому \[ OA=OB=OC=OD. \]
По рисунку \(\angle BCO=25^\circ\). В треугольнике \(BOC\) стороны \(OB\) и \(OC\) равны, значит, он равнобедренный: \[ \angle CBO=\angle BCO=25^\circ. \]
Тогда \[ \angle BOC=180^\circ-25^\circ-25^\circ=130^\circ. \]
Угол \(\alpha=\angle AOB\) и \(\angle BOC\) смежные, так как \(OA\) и \(OC\) лежат на одной прямой — диагонали \(AC\): \[ \alpha=180^\circ-130^\circ=50^\circ. \]
Углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) вертикальные, поэтому \[ \angle AOD=130^\circ. \] Треугольник \(AOD\) равнобедренный (\(OA=OD\)), значит, углы при основании \(AD\) равны: \[ \beta=\angle ADO=\frac{180^\circ-130^\circ}{2}=25^\circ. \]
Проверка: острый угол между диагоналями равен \(50^\circ\), а угол между диагональю и стороной — \(25^\circ\). Всё согласуется с рисунком.
Обсуждение
2 сообщенияКратко:
6) \(\alpha=50^\circ,\ \beta=65^\circ\);
10) \(\alpha=40^\circ,\ \beta=40^\circ\).
6)
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OB=OC\).
Дан \(\angle BCO=25^\circ\), значит, в равнобедренном \(\triangle BOC\):
\[ \angle BOC=180^\circ-2\cdot25^\circ=130^\circ. \]
Тогда
\[ \alpha=\angle AOB=180^\circ-130^\circ=50^\circ. \]
Углы \(\angle COD\) и \(\angle AOB\) вертикальные, поэтому \(\angle COD=50^\circ\). В равнобедренном \(\triangle COD\):
\[ \beta=\angle ODC=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ. \]
10)
Дано \(\angle BCA=50^\circ\). Так как \(AD\parallel BC\), то
\[ \angle DAO=50^\circ. \]
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, значит, \(OA=OD\). В \(\triangle AOD\) углы при основании равны:
\[ \angle AOD=180^\circ-2\cdot50^\circ=80^\circ. \]
Отрезок \(OH\perp AD\), а в равнобедренном треугольнике высота к основанию является биссектрисой, поэтому
\[ \alpha=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \]
Угол \(\beta\) — между диагональю \(AO\) и стороной \(AB\), а \(AB\perp AD\), поэтому
\[ \beta=90^\circ-50^\circ=40^\circ. \]
Ответ: 6) \(50^\circ;\ 65^\circ\); 10) \(40^\circ;\ 40^\circ\).
