и по истории

Question

и по истории

Расшифровка фото нейросетью:
1210. Представьте степень в виде произведения:
а) $(a^{-1}b^{-1})^{-2}$;
б) $(x^{3}y^{-1})^{2}$;
в) $(0,5a^{-3}b^{5})^{-12}$;
г) $(-2m^{5}n^{-3})^{2}$;
д) $(\frac{1}{3}p^{-2}q^{2})^{-3}$;
е) $(-0,5x^{-3}y^{4})^{3}$.

Answer

На фото — страница по алгебре; задания по истории в нём нет. Ниже разбираю № 1210 — первый номер на странице.

Краткий ответ:

а) $a^{2}b^{2}$
б) $x^{6}y^{-2}$
в) $4096a^{36}b^{-60}$
г) $4m^{10}n^{-6}$
д) $27p^{6}q^{-6}$
е) $-\frac{1}{8}x^{-9}y^{12}$

Почему так

Используются три правила:

$$
(ab)^n=a^n b^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-m}=\frac{1}{a^m}.
$$

То есть при возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень, а показатели степеней перемножаются. Числовой коэффициент тоже возводится в степень.

Например, для пункта в):

$$
(0{,}5a^{-3}b^{5})^{-12}
=\left(\frac12\right)^{-12}a^{36}b^{-60}
=2^{12}a^{36}b^{-60}
=4096a^{36}b^{-60}.
$$

Для пункта е) важна ещё и чётность степени:

$$
(-0{,}5x^{-3}y^{4})^{3}
=\left(-\frac12\right)^{3}x^{-9}y^{12}
=-\frac18x^{-9}y^{12}.
$$

Отрицательный показатель не делает число отрицательным: $y^{-2}=\frac{1}{y^{2}}$. А вот отрицательный коэффициент в нечётной степени остаётся отрицательным, а в чётной — становится положительным.

По истории пришли текст или фото задания — разберу отдельно.