Задание 1 (Аналогично заданию 5) Решите систему уравнений: 1. (x + 3y)² = 4y, (x + 3y)² = 4x; 2. y - x = 1, x² + xy + y² = 7.

Краткий ответ

Система 1: \((0; 0)\) и \(\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right)\). Система 2: \((1; 2)\) и \((-2; -1)\).

Система 1: \((x+3y)^2 = 4y\), \((x+3y)^2 = 4x\)

Идея. Слева в обоих уравнениях стоит одно и то же выражение, значит, равны и правые части:

\[ 4y = 4x \;\Rightarrow\; y = x. \]

Подставляем \(y = x\) в первое уравнение:

\[ (x + 3x)^2 = 4x, \] \[ 16x^2 = 4x, \] \[ 16x^2 - 4x = 0, \] \[ 4x(4x - 1) = 0. \]

Отсюда \(x = 0\) или \(x = \frac{1}{4}\). Поскольку \(y = x\), получаем пары \((0; 0)\) и \(\left(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right)\).

Проверка. \((0;0)\): \((0+0)^2 = 0 = 4\cdot 0\). \(\left(\frac{1}{4};\frac{1}{4}\right)\): \(x + 3y = 1\), \(1^2 = 1 = 4\cdot\frac{1}{4}\). Обе пары подходят.

Система 2: \(y - x = 1\), \(x^2 + xy + y^2 = 7\)

Идея. Первое уравнение линейное — выражаем одну переменную:

\[ y = x + 1. \]

Подставляем во второе:

\[ x^2 + x(x+1) + (x+1)^2 = 7, \] \[ x^2 + x^2 + x + x^2 + 2x + 1 = 7, \] \[ 3x^2 + 3x - 6 = 0, \] \[ x^2 + x - 2 = 0. \]

Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\), поэтому

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm 3}{2}, \quad x_1 = 1,\; x_2 = -2. \]

Тогда \(y = x + 1\): \(y_1 = 2\), \(y_2 = -1\).

Проверка. \((1; 2)\): \(2 - 1 = 1\) ✓, \(1^2 + 1\cdot 2 + 2^2 = 7\) ✓. \((-2; -1)\): \(-1 - (-2) = 1\) ✓, \((-2)^2 + (-2)(-1) + (-1)^2 = 4 + 2 + 1 = 7\) ✓.

Что запомнить

1. Одинаковые выражения в уравнениях системы — приравниваем остальные части: это сразу даёт связь между переменными.
2. Линейное уравнение — выражаем переменную и подставляем в другое; получается квадратное уравнение относительно одной переменной.
3. Каждому корню \(x\) соответствует своё \(y\); ответ записываем парами и проверяем подстановкой.

Уравнения задания 2 на фото не попали в кадр — виден только его заголовок. Пришли фото с ними, и я разберу их так же.