6. Решите уравнение -9(8-9x)=4x+5.

Да, писать \(x=\ldots\) нужно — но только там, где вы находите сам корень, а не в каждой строчке.

Как устроена запись. Каждая строка в решении — это отдельное уравнение, равносильное предыдущему. Внутри строки слева стоит выражение с \(x\), справа — число. Знак «=» в начале строки не ставится (так пишут только в тождествах при упрощении выражений, а не в уравнениях).

Образец для № 6 — так и записывайте в классной работе:

\[ -9(8-9x)=4x+5 \] \[ -72+81x=4x+5 \] \[ 81x-4x=5+72 \] \[ 77x=77 \] \[ x=1 \]

Ответ: 1.

То есть «семьдесят семь икс равно семьдесят семь» — это предпоследняя строка, а последняя уже «\(x\) равно \(1\)». Именно её вы и имеете в виду: она обязательна, без неё решение не закончено.

Остальные — так же:

№ 7: \(-5x+6x=8-1\ \Rightarrow\ x=7\). Ответ: 7.

№ 8: \(8x-5=7\ \Rightarrow\ 8x=12\ \Rightarrow\ x=1{,}5\). Ответ: 1,5.

№ 9: \(2x=-5\ \Rightarrow\ x=-2{,}5\). Ответ: −2,5.

№ 10: \(4x=-7\ \Rightarrow\ x=-\frac{7}{4}=-1{,}75\). Ответ: −1,75.

Три правила оформления:

1. Строку \(x=\ldots\) пишем один раз — в конце, после того как получили \(ax=b\).
2. Слово «Ответ» с числом в конце — обязательно (в № 10 можно записать и дробью \(-\frac{7}{4}\), и десятичной \(-1{,}75\), как требует учитель).
3. Проверку в тетрадь обычно не пишут — она для себя, чтобы поймать ошибку.

Хорошо, разберу каждый пример с объяснением, почему делается каждый шаг.

Общая логика

Уравнение — это весы: что делаем с одной частью, то же делаем с другой, и равенство не нарушается. Отсюда два разрешённых действия:

1. Раскрыть скобки — умножить число перед скобкой на каждое слагаемое внутри (распределительный закон: \(a(b+c)=ab+ac\)).
2. Перенести слагаемое в другую часть — это то же самое, что вычесть его из обеих частей, поэтому знак меняется на противоположный.

После этого уравнение сводится к виду \(ax=b\), и остаётся разделить обе части на \(a\).

№ 6. \(-9(8-9x)=4x+5\)

Сначала мешает скобка. Множитель перед ней — минус девять:

\[ -9\cdot 8=-72,\qquad -9\cdot(-9x)=+81x \]

Минус на минус даёт плюс — здесь чаще всего теряют знак. Получаем:

\[ -72+81x=4x+5 \]

Теперь собираем \(x\) слева, числа справа. Слагаемое \(4x\) переносим влево — оно становится \(-4x\); число \(-72\) переносим вправо — оно становится \(+72\):

\[ 81x-4x=5+72 \]

Приводим подобные: \(81x-4x=77x\), \(5+72=77\).

\[ 77x=77 \]

Делим обе части на 77: \(x=\frac{77}{77}=1\).

№ 7. \(1-5x=-6x+8\)

Скобок нет, но \(x\) стоят с двух сторон. Переносим \(-6x\) влево — знак меняется на плюс; единицу переносим вправо — она становится минус единицей:

\[ -5x+6x=8-1 \]

Слева: \(-5x+6x=1x=x\) (единицу перед \(x\) не пишут). Справа: \(8-1=7\).

\[ x=7 \]

Делить не на что: коэффициент при \(x\) уже равен единице. Это самый быстрый пример из пяти.

№ 8. \(9-2(-4x+7)=7\)

Скобка, множитель \(-2\). Умножаем на каждое слагаемое:

\[ -2\cdot(-4x)=+8x,\qquad -2\cdot 7=-14 \]

Подставляем:

\[ 9+8x-14=7 \]

Приводим числа без \(x\): \(9-14=-5\).

\[ 8x-5=7 \] \[ 8x=12 \]

Делим на 8 и сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

\[ x=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1{,}5 \]

№ 9. \(2x+2=-3\)

Самое простое: справа нет \(x\), скобок нет. Переносим \(2\) вправо, знак меняется:

\[ 2x=-3-2 \] \[ 2x=-5 \]

Делим на 2:

\[ x=-\frac{5}{2}=-2{,}5 \]

Минус сохраняется — в этом примере главное не потерять его при делении.

№ 10. \(4x+7=0\)

Справа стоит ноль, но это ничего не меняет: ноль — такое же число. Переносим \(7\):

\[ 4x=0-7 \] \[ 4x=-7 \]

Делим на 4:

\[ x=-\frac{7}{4}=-1{,}75 \]

Как себя проверять

• Подставьте корень в исходное уравнение — должны получить верное числовое равенство.
• Если при \(x\) получился нецелый коэффициент (как в № 8 и № 10), ответ удобнее оставить обыкновенной дробью — так видно, что она несократима.
• Типичные потери баллов: забытый минус при раскрытии скобки, забытая смена знака при переносе, недописанная строка \(x=\ldots\) в конце.

Потому что \(77x\) — это умножение: \(77\cdot x\). А чтобы «освободить» \(x\), нужно применить обратное действие — деление. И делать это надо с обеими частями, иначе равенство разрушится.

По шагам

У нас получилось:

\[ 77x=77 \]

Читается так: «какое-то число, умноженное на 77, даёт 77». Уравнение — это весы в равновесии. Разделим левую чашу на 77 — она станет \(x\). Но чтобы весы остались в равновесии, правую чашу тоже делим на 77:

\[ \frac{77x}{77}=\frac{77}{77} \]

Слева 77 сокращается: \(\frac{77}{77}\cdot x=1\cdot x=x\). Справа \(\frac{77}{77}=1\). Получаем:

\[ x=1 \]

Проверка здравым смыслом

Какое число при умножении на 77 даёт 77? Единица, потому что \(77\cdot 1=77\). Деление на 77 — это просто формальная запись этого вывода.

Общее правило

Для любого уравнения вида \(ax=b\) при \(a\neq 0\):

\[ x=\frac{b}{a} \]

То есть всегда делим обе части на коэффициент перед \(x\). В № 6 коэффициент 77, в № 8 — 8 (получили \(x=\frac{12}{8}\)), в № 10 — 4 (получили \(x=-\frac{7}{4}\)). Один и тот же приём во всех примерах.

Чего нельзя делать: делить только одну часть или делить на ноль. На 77 делить можно — это число не ноль, поэтому действие законно.