Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Небольшое замечание: уравнение — алгебраическое, хотя предмет указан как география. Решаю его как уравнение.
Как решать (способ 1: по теореме Виета)
Для приведённого квадратного уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\):
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]
Подбираем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3:
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot 3=6 \]
Значит, \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).
Как решать (способ 2: через дискриминант)
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка
Подставим \(x=2\):
\[ 4-10+6=0 \quad \text{— верно} \]
Подставим \(x=3\):
\[ 9-15+6=0 \quad \text{— верно} \]
Принцип для похожих заданий
- Приведи уравнение к виду \(x^{2}+px+q=0\) (если перед \(x^{2}\) стоит не 1 — раздели всё уравнение на этот коэффициент).
- Быстрый путь: ищи два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\) — это и есть корни (теорема Виета).
- Универсальный путь: считай \(D=b^{2}-4ac\). Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- Всегда подставляй найденные корни обратно — так ошибка ловится сразу.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко
\(x\) — это не какое-то заранее известное число, а место для неизвестного числа, которое мы ищем. А \(x_{1}\) и \(x_{2}\) — просто подписи «первый корень» и «второй корень». Нижний индекс — это метка, а не умножение: \(x_{1}\) читается «икс первое», это не \(x\cdot 1\).
Буква именно \(x\) — просто традиция. Уравнение можно было записать и так: \(t^{2}-5t+6=0\), или \(y^{2}-5y+6=0\) — ответ был бы тот же самый.
1. Что вообще значит «решить уравнение»
Уравнение — это вопрос:
при каком числе \(x\) выражение \(x^{2}-5x+6\) равно нулю?
Проверим кандидата \(x=2\) — везде вместо \(x\) подставляем двойку:
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
Получился ноль — значит, двойка подходит. Для \(x=3\):
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Тоже ноль. Больше подходящих чисел нет, поэтому ответ — два корня: 2 и 3.
2. Откуда в формуле взялись \(p\) и \(q\)
Я записал «приведённое» уравнение как \(x^{2}+px+q=0\). Это не новое уравнение, а шаблон, в который можно вписать любое похожее. Сравним с нашим:
\[ x^{2}\underbrace{-5}_{p}x\underbrace{+6}_{q}=0 \]
То есть \(p=-5\), \(q=6\). Важно: \(p\) — это коэффициент вместе со знаком.
Тогда по Виету:
\[ x_{1}+x_{2}=-p=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q=6 \]
3. Почему Виета вообще работает
Это самый полезный момент. Если корни — это \(x_{1}\) и \(x_{2}\), то выражение можно разложить на скобки:
\[ x^{2}-5x+6=(x-x_{1})(x-x_{2}) \]
Раскроем правую часть:
\[ (x-x_{1})(x-x_{2})=x^{2}-x\cdot x_{2}-x_{1}\cdot x+x_{1}x_{2}=x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2} \]
Теперь сравниваем с левой частью \(x^{2}-5x+6\):
- коэффициент при \(x\): \(-(x_{1}+x_{2})=-5\), значит \(x_{1}+x_{2}=5\);
- свободный член: \(x_{1}x_{2}=6\).
Вот и вся теорема Виета — она просто говорит, что при раскрытии скобок получаются те же коэффициенты.
Осталось найти два числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3. Причём проверять долго не нужно: если произведение 6, то варианты целых — \(1\cdot 6\) и \(2\cdot 3\); сумма 7 не подходит, сумма 5 — подходит.
4. Откуда \(x\) в записи \(x_{1,2}\) с дискриминантом
В формуле
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]
запись \(x_{1,2}\) — это сокращение для «оба корня сразу»: подставили плюс — получили \(x_{1}\) (или \(x_{2}\), порядок не важен), подставили минус — второй корень. Знак \(\pm\) и даёт два числа:
\[ x=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x=\frac{5-1}{2}=2 \]
Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\) — коэффициенты из общего вида \(ax^{2}+bx+c=0\), где \(a\) — число перед \(x^{2}\), \(b\) — перед \(x\), \(c\) — свободный член.
5. Мини-итог
- \(x\) — неизвестное, его мы и ищем;
- \(x_{1}\), \(x_{2}\) — ответы, подписи, а не умножение;
- \(p\), \(q\) (или \(a\), \(b\), \(c\)) — коэффициенты уравнения;
- проверка подстановкой — самый быстрый способ убедиться, что корни верные.
Если хочешь, могу дать 2–3 похожих уравнения, чтобы ты сам прогнал их через Виета и через дискриминант.
