1 вариянт

Question

1 вариянт

Расшифровка фото нейросетью:
1-вариант

1. Найдите общий вид первообразной $F(x)$ для $f(x)$, если $f(x)=2x-2$, $F(2)=-5$.
$F(x)=x^2-2x+C$
$-5=4-4+C$
$C=-5$
$F(x)=x^2-2x-5$

2. Вычислите интегралы:
а) $\int_{1}^{2}(3x^2-4x+7)dx$;
б) $\int_{0}^{1}(x+1)^2dx$

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}$, $x=4$, $y=0$.

Answer

Кратко по варианту 1:

1. Общий вид: $F(x)=x^2-2x+C$.
С условием $F(2)=-5$: $F(x)=x^2-2x-5$.

2. а) $8$; б) $\frac{7}{3}$.

3. $S=\frac{16}{3}$ кв. ед.

Как решать

1. Первообразная.
Нужна функция, производная которой равна $f(x)=2x-2$:

$$
F(x)=x^2-2x+C.
$$

Используем условие $F(2)=-5$:

$$
4-4+C=-5,\qquad C=-5.
$$

Значит,

$$
F(x)=x^2-2x-5.
$$

Проверка: $F'(x)=2x-2$ — всё верно. Если нужен именно «общий вид», то оставляют $C$; условие $F(2)=-5$ задаёт уже конкретную первообразную.

2. Интегралы.
Используем формулу Ньютона — Лейбница: находим первообразную и вычитаем её значения на концах отрезка.

а)

$$
\int_{1}^{2}(3x^2-4x+7)\,dx
=\left[x^3-2x^2+7x\right]_{1}^{2}
$$

$$
=(8-8+14)-(1-2+7)=14-6=8.
$$

б)

$$
\int_{0}^{1}(x+1)^2\,dx
=\left[\frac{x^3}{3}+x^2+x\right]_{0}^{1}
$$

$$
=\frac{1}{3}+1+1=\frac{7}{3}.
$$

3. Площадь фигуры.
Фигура ограничена сверху $y=\sqrt{x}$, снизу $y=0$, справа $x=4$. Кривая пересекает ось $Ox$ при $x=0$, поэтому пределы интегрирования — от $0$ до $4$:

$$
S=\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx
=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{4}
$$

$$
=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}
=\frac{2}{3}\cdot 8
=\frac{16}{3}.
$$

Площадь положительна и примерно равна $5{,}33$, это соответствует рисунку.