До решай
Дорешиваю ту строку, которая уже получена на доске.
Ответ:
\[
x\in(-2;2]\cup[5;7).
\]
На доске после приведения к основанию \(3\): \[ \log_3(14+5x-x^2)\le \log_3(24-2x). \]
Так как основание \(3>1\), логарифм возрастает, значит, знак неравенства для аргументов сохраняется: \[ 14+5x-x^2\le 24-2x. \]
Ещё нужна ОДЗ логарифма: \[ 14+5x-x^2>0. \]
При этом второй аргумент \(24-2x\) при \(x<7\) положителен автоматически.
1. Решаем неравенство: \[ 14+5x-x^2\le 24-2x \] \[ -x^2+7x-10\le 0 \] Умножим на \(-1\), знак меняется: \[ x^2-7x+10\ge 0 \] \[ (x-2)(x-5)\ge 0. \] Значит, \[ x\le 2 \quad \text{или} \quad x\ge 5. \]
2. Решаем ОДЗ: \[ 14+5x-x^2>0 \] \[ x^2-5x-14<0 \] \[ (x-7)(x+2)<0. \] Получаем: \[ -2<x<7. \]
3. Пересекаем: \[ (-2;7)\cap\bigl((-\infty;2]\cup[5;+\infty)\bigr) = (-2;2]\cup[5;7). \]
Проверка границ: \(x=2\) и \(x=5\) подходят, там получается равенство; \(x=-2\) и \(x=7\) не подходят, потому что аргумент логарифма обращается в нуль.
Обсуждение
3 сообщенияДо решай
Продолжаю с системы на доске:
\[ \begin{cases} 14+5x-x^2\le 24-2x,\\ 14+5x-x^2>0. \end{cases} \]
1) Первое неравенство:
\[ 14+5x-x^2-24+2x\le 0 \]
\[ -x^2+7x-10\le 0 \]
Умножим на \(-1\), знак меняется:
\[ x^2-7x+10\ge 0 \]
\[ (x-2)(x-5)\ge 0 \]
Значит:
\[ x\in(-\infty;2]\cup[5;+\infty) \]
2) Второе неравенство — область допустимых значений:
\[ 14+5x-x^2>0 \]
\[ x^2-5x-14<0 \]
\[ (x-7)(x+2)<0 \]
Значит:
\[ x\in(-2;7) \]
3) Пересекаем решения:
\[ (-2;7)\cap\Bigl((-\infty;2]\cup[5;+\infty)\Bigr) \]
Получаем:
\[ \boxed{(-2;2]\cup[5;7)} \]
Точки \(2\) и \(5\) включаются, а \(-2\) и \(7\) не включаются, потому что при них \(14+5x-x^2=0\), то есть выражение под логарифмом обращается в ноль.
Ответ: \((-2;2]\cup[5;7)\).
