5) log_{1/3}(1/(14+5x-x^2))^{-1} ≤ log_3(24-2x)

Краткий ответ: \(x\in(-2;2]\cup[5;7]\) — для варианта, который решается по записям на доске.

На доске после дроби виден показатель \(-1\). Если понимать его буквально, левая часть равна \(\log_{1/3}(14+5x-x^2)\), и записанная ниже система уже не подходит. Следующая строка соответствует варианту \[ \log_{1/3}\frac{1}{14+5x-x^2}\le \log_3(24-2x). \] Его и разбираю.

Обозначим: \[ A=14+5x-x^2,\qquad B=24-2x. \]

1. Переходим к основанию \(3\): \[ \log_{1/3}\frac{1}{A} =-\log_3\frac{1}{A} =\log_3 A. \] Получаем: \[ \log_3 A\le \log_3 B. \]

2. Так как \(3>1\), знак неравенства сохраняется: \[ A\le B. \] При этом аргумент логарифма должен быть положительным: \[ A>0. \] Отдельно \(B>0\) писать не нужно: из \(A>0\) и \(A\le B\) уже следует \(B>0\).

3. Решаем \(A\le B\): \[ 14+5x-x^2\le 24-2x, \] \[ x^2-7x+10\ge0, \] \[ (x-2)(x-5)\ge0. \] Значит, \[ x\le2 \quad \text{или} \quad x\ge5. \]

4. Решаем \(A>0\): \[ 14+5x-x^2>0, \] \[ x^2-5x-14<0, \] \[ (x-7)(x+2)<0. \] Значит, \[ -2<x<7. \]

5. Пересекаем: \[ (-2;7)\cap\bigl((-\infty;2]\cup[5;+\infty)\bigr) =(-2;2]\cup[5;7). \]

Проверка: при \(x=2\) получаем \(A=B=20\), при \(x=5\) получаем \(A=B=14\), поэтому эти точки входят. При \(x=-2\) и \(x=7\) аргумент логарифма равен нулю, поэтому они не входят.