кантип чыгарам чыгарылышы керек болуп атат

Кыскача жооп

\[ \int (3x^2-2x-1)\,dx=x^3-x^2-x+C \]

\[ \int (\cos 3x-\sin 3x)\,dx=\frac{\sin 3x+\cos 3x}{3}+C \]

Кандай эрежелер иштейт

Белгисиз интеграл — туундунун тескери амалы: эгер \(F'(x)=f(x)\) болсо, анда \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\), мында \(C\) — турактуу сан.

Таблицадан керектүү үч формула:

\[ \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad \int \cos(kx)\,dx=\frac{\sin kx}{k}+C,\qquad \int \sin(kx)\,dx=-\frac{\cos kx}{k}+C \]

Интеграл сызыктуу: кошулуучуларды бөлүп, турактуу көбөйтүүчүнү сыртка чыгарса болот.

1) \(\int(3x^2-2x-1)\,dx\)

Ар бир кошулуучуну өзүнчө интегралдайбыз:

\[ 3\int x^2dx-2\int x\,dx-\int 1\,dx =3\cdot\frac{x^3}{3}-2\cdot\frac{x^2}{2}-x+C =x^3-x^2-x+C \]

Текшерүү: \((x^3-x^2-x+C)'=3x^2-2x-1\) — баштапкы функция келип чыкты, демек туура. ✔

2) \(\int(\cos 3x-\sin 3x)\,dx\)

Бул жерде \(x\)-тин алдында 3 коэффициенти бар, ошондуктан жоопту ошол санга бөлөбүз:

\[ \int \cos 3x\,dx=\frac{\sin 3x}{3},\qquad \int \sin 3x\,dx=-\frac{\cos 3x}{3} \]

Минус сакталат, ошондуктан косинус алымга плюс менен чыгат:

\[ \int(\cos 3x-\sin 3x)\,dx=\frac{\sin 3x}{3}-\left(-\frac{\cos 3x}{3}\right)+C =\frac{\sin 3x+\cos 3x}{3}+C \]

Текшерүү:

\[ \left(\frac{\sin 3x}{3}\right)'=\cos 3x,\qquad \left(\frac{\cos 3x}{3}\right)'=-\sin 3x \]

Жыйынтыктын туундусу \(\cos 3x-\sin 3x\) — туура. ✔

Окшош тапшырманы өз алдынча чыгаруу үчүн

• Даража болсо: көрсөткүчкө 1 кош жана ошол жаңы санга бөл: \(\int x^5dx=\frac{x^6}{6}+C\).
• \(kx\) турса — жоопту \(k\) ге бөл: \(\int \sin 5x\,dx=-\frac{\cos 5x}{5}+C\).
• Аягында \(+C\) жазуу милдеттүү: туунду алганда турактуу жоголот, интегралда кайра пайда болот.
• Текшерүүнүн эң оңой жолу — жооптун туундусун алып, баштапкы функцияга түшүү.

Жогорку саптардагы \(F(x)\) жана \(C=5\frac{1}{2}\) боюнча да түшүнүксүз болсо, ошол бөлүгүн такыраак тартып жөнөт — анда \(C\) кошумча шарттан кантип табыларын көрсөтөм.