f(x) = x^2 - 2x - 4

Я понял задание. На фото нужно вычислить два определённых интеграла. Верхняя запись \(f(x) = x^2 - 2x - 4\) относится, скорее всего, к предыдущему номеру, поэтому решаем только интегралы.

Краткий ответ: а) \(\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx = 5\) б) \(\int_{0}^{1} (x+1)^4 dx = \frac{31}{5} = 6{,}2\)

Главный принцип: формула Ньютона — Лейбница

Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно:

1. Найти первообразную \(F(x)\) для подынтегральной функции.
2. Подставить верхний предел \(b\) и нижний предел \(a\).
3. Вычесть: \(F(b) - F(a)\).

Для степенной функции действует правило: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \] То есть показатель степени увеличивается на единицу, а результат делится на новое число.

Решение задания а)

Вычислим интеграл: \[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx \]

Шаг 1. Находим первообразную. Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

• \(\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3\)
• \(\int -2x dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2\)
• \(\int 1 dx = x\)

Значит, первообразная \(F(x) = x^3 - x^2 + x\).

Шаг 2. Подставляем пределы от 1 до 2. \[ F(2) = 2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \] \[ F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \]

Шаг 3. Вычитаем. \[ F(2) - F(1) = 6 - 1 = 5 \]

Решение задания б)

Вычислим интеграл: \[ \int_{0}^{1} (x+1)^4 dx \]

Здесь можно использовать замену переменной. Пусть \(t = x + 1\). Тогда дифференциал \(dt = dx\). Теперь нужно поменять пределы интегрирования:

• Если \(x = 0\), то \(t = 0 + 1 = 1\).
• Если \(x = 1\), то \(t = 1 + 1 = 2\).

Перепишем интеграл через \(t\): \[ \int_{1}^{2} t^4 dt \]

Находим первообразную по тому же правилу степени: \[ F(t) = \frac{t^5}{5} \]

Подставляем новые пределы от 1 до 2: \[ \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} = 6{,}2 \]

Проверка результата

Я проверил ответ через производную. Например, для пункта б) производная от \(\frac{(x+1)^5}{5}\) равна \(\frac{5(x+1)^4}{5} = (x+1)^4\), что совпадает с исходной функцией под интегралом. Значит, первообразная найдена верно.