Задача номер 1 Дано формула и решение

Дано: \(AB=12\) см, \(BC=15\) см, \(AC=18\) см, \(BM=5\) см, \(BN=4\) см, \(MN=6\) см, \(BD=11{,}5\) см — медиана.

Найти: \(P_{MBN}\).

Формула:

\[ P_{MBN}=BM+BN+MN \]

Решение:

Берём только стороны треугольника \(MBN\):

\[ P_{MBN}=5+4+6=15\text{ см} \]

Отрезки \(AC\) и медиана \(BD\) в этот треугольник не входят, поэтому в расчёт не идут.

Ответ: \(P_{MBN}=15\) см.

Если в «Дано» у тебя другая запись чисел (например, другие буквы или порядок), пришли её — сверю и оформлю так же, как требует учитель.

Рисунок к задаче (схематический, не в масштабе):

              B
             /|\
            / | \
       M---/--+--\---N
          /   |   \
         /    |    \
        A-----D-----C

Что подписать на рисунке:

• \(AB=12\) см, \(BC=15\) см, \(AC=18\) см;
• \(BM=5\) см, \(BN=4\) см, \(MN=6\) см;
• \(D\) — середина \(AC\), поэтому \(AD=DC=9\) см;
• \(BD\) — медиана;
• можно добавить: \(AM=12-5=7\) см, \(NC=15-4=11\) см.

Как построить точный чертёж:

1. Проведи \(AC=18\) см и отметь середину \(D\).
2. Из точки \(A\) радиусом \(12\) см, а из \(C\) радиусом \(15\) см сделай засечки — их пересечение даст точку \(B\).
3. На стороне \(AB\) от точки \(B\) отложи \(BM=5\) см.
4. На стороне \(BC\) от точки \(B\) отложи \(BN=4\) см.
5. Соедини \(M\) и \(N\), проведи медиану \(BD\).

На рисунке обязательно должны быть отрезки \(MN\) и \(BD\), иначе чертёж не соответствует условию.

Ответ не меняется: \(P_{MBN}=5+4+6=15\) см.

Пришли условие задачи 2 — текстом или фото. Если нужно такое же оформление, как в первой («Дано — формула — решение» и рисунок), скажи, и я сделаю в том же виде.

Задача 2

Краткий ответ: \(AQ=4\) см.

Дано:
\(AB=16\) см, \(AC=20\) см,
\(P\in AB\), \(Q\in AC\),
\(AP=5\) см,
\(\angle APQ=\angle ACB\).

Найти: \(AQ\).

Формула:
Треугольники \(APQ\) и \(ACB\) подобны, поэтому

\[ \frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB} \]

Решение:

1. Угол \(A\) — общий для треугольников \(APQ\) и \(ACB\).
2. По условию \(\angle APQ=\angle ACB\).
3. Значит, \(\triangle APQ\sim\triangle ACB\) по двум углам.
4. Соответственные стороны: \(AP\) соответствует \(AC\), а \(AQ\) — \(AB\).

\[ \frac{5}{20}=\frac{AQ}{16} \]

\[ AQ=\frac{5\cdot16}{20}=4\text{ см} \]

Проверка:

\[ \frac{AP}{AC}=\frac{5}{20}=\frac14,\qquad \frac{AQ}{AB}=\frac{4}{16}=\frac14 \]

Отношения равны, значит, ответ верный. Точка \(Q\) действительно лежит на стороне \(AC\), так как \(4<20\).

Рисунок — схематично, не в масштабе:

          A
         / \
        P---Q
       /     \
      /       \
     B---------C

Подпиши на рисунке: \(AP=5\) см, \(AB=16\) см, \(AC=20\) см, \(AQ=4\) см.

Ответ: \(AQ=4\) см.

Ответ: \[ S_{DBE}=\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}}\,S \]

Дано:
\(S_{ABC}=S\); точка \(D\) лежит на \(AB\), \(AD:DB=1:k\); \(DE\parallel AC\), \(E\in BC\).

Найти: \(S_{DBE}\).

Формулы:

\[ AB=AD+DB,\qquad \frac{S_{DBE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{DB}{AB}\right)^{2} \]

(отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).

Решение:

1. Пусть \(AD=x\), тогда \(DB=kx\), а

\[ AB=x+kx=(k+1)x. \]

2. Так как \(DE\parallel AC\), треугольники \(DBE\) и \(ABC\) подобны (угол \(B\) общий, углы при \(D\) и \(E\) равны соответственным углам при \(A\) и \(C\)).

3. Коэффициент подобия:

\[ \frac{DB}{AB}=\frac{kx}{(k+1)x}=\frac{k}{k+1}. \]

4. Значит,

\[ \frac{S_{DBE}}{S}=\left(\frac{k}{k+1}\right)^{2}, \]

откуда

\[ S_{DBE}=\frac{k^{2}}{(k+1)^{2}}\,S. \]

Рисунок (схематично):

      B
     / \
    D---E      DE || AC
   /     \
  A-------C

Подпиши: \(AD:DB=1:k\), \(DE\parallel AC\), \(S_{ABC}=S\).

Проверка: при \(k=1\) точка \(D\) — середина \(AB\), отрезок \(DE\) — средняя линия, площадь равна \(\frac{S}{4}\). Формула даёт \(\frac{1}{(2)^2}S=\frac{S}{4}\) — верно. При \(k=2\) получаем \(\frac{4}{9}S\), что меньше \(S\), как и должно быть.