г иштеп бер

Кыска жооп

\[9x^4-9x^2+2=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{6}}{3},\qquad x_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Кадамдар

1. Алмаштыруу. \(x^4=(x^2)^2\) болгондуктан \(t=x^2\) деп белгилейбиз, мында \(t\ge 0\) (квадрат терс болбойт). Ошондо теңдеме квадраттык түргө келет:

\[9t^2-9t+2=0\]

2. Дискриминант:

\[D=(-9)^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9,\qquad \sqrt{D}=3\]

3. \(t\) нын маанилери:

\[t_{1,2}=\frac{9\pm 3}{2\cdot 9}=\frac{9\pm 3}{18};\qquad t_1=\frac{12}{18}=\frac{2}{3},\quad t_2=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\]

Экөө тең оң, андыктан ар бири экиден \(x\) берет.

4. Кайтарып коюу (\(t=x^2\)):

\[x^2=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\qquad\left(\text{себеби } \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\]

\[x^2=\frac{1}{3}\ \Rightarrow\ x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\]

5. Текшерүү. \(t=\frac{2}{3}\): \(9\cdot\frac{4}{9}-9\cdot\frac{2}{3}+2=4-6+2=0\). \(t=\frac{1}{3}\): \(9\cdot\frac{1}{9}-9\cdot\frac{1}{3}+2=1-3+2=0\). Виет боюнча да \(t_1+t_2=1=\frac{9}{9}\), \(t_1t_2=\frac{2}{9}\) — жооп туура.

Принцип

Биквадраттык теңдеме дегени \(ax^4+bx^2+c=0\) түрүндөгү теңдеме. Ачкычы — \(x^2=t\) алмаштыруусу: ал теңдемени кадимки квадраттык теңдемеге айлантат. Анан ар бир оң \(t\) үчүн \(x=\pm\sqrt{t}\) деп эки тамыр кайтарылат. Эгер \(t<0\) чыкса — чыгарылыш жок; эгер \(t=0\) болсо — жалгыз \(x=0\) тамыры. Ушул эле ыкма менен 10-көнүгүүнүн башка пункттары да чыгарылат.