4x⁴ − 5x² + 1 = 0

Краткий ответ:
\[ x_1=1,\quad x_2=-1,\quad x_3=\frac12,\quad x_4=-\frac12. \]

Перед нами биквадратное уравнение: \[ 4x^4-5x^2+1=0. \]

1. Введём замену.
Обозначим \(t=x^2\). Тогда \(x^4=t^2\), причём \(t\ge 0\).

Получаем квадратное уравнение: \[ 4t^2-5t+1=0. \]

2. Решим его через дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot4\cdot1=25-16=9. \] \[ t=\frac{5\pm3}{8}. \]

Отсюда: \[ t_1=1,\qquad t_2=\frac14. \]

3. Возвращаемся к \(x\).
Так как \(t=x^2\): \[ x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1; \] \[ x^2=\frac14 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac12. \]

Оба значения \(t\) неотрицательны, значит, все четыре корня подходят.

Проверка.
Для \(x=\pm1\): \[ 4\cdot1-5\cdot1+1=0. \] Для \(x=\pm\frac12\): \[ 4\cdot\frac1{16}-5\cdot\frac14+1=\frac14-\frac54+1=0. \]

Главный принцип: замена \(t=x^2\) сводит уравнение четвёртой степени к квадратному, а при обратной замене нужно помнить про оба знака: \(x=\pm\sqrt{t}\).