реши всё

Я решаю все уравнения 20.1–20.2. Всюду \(k\in\mathbb Z\).

Краткие ответы

• 20.1.1) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\) или \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}\).
• 20.1.2) \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\). Серия \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) уже входит в неё.
• 20.1.3) \(x=\frac{\pi k}{3}\) или \(x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi k\).
• 20.1.4) \(x=\frac{\pi k}{2}\).
• 20.2.1) \(x=155^\circ+180^\circ k\).
• 20.2.2) Решений нет.

Ключевые шаги

20.1.1.
\[ \sin x+\sin5x=2\sin3x\cos2x, \] поэтому \[ 2\cos2x(\sin3x-1)=0. \] Отсюда: \[ \cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, \] \[ \sin3x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}. \]

20.1.2.
\[ \cos5x+\cos x=2\cos3x\cos2x. \] Получаем: \[ 2\cos3x(\cos2x+1)=0. \] \[ \cos3x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}. \] Из \(\cos2x=-1\) выходит \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), но эта серия уже содержится в предыдущей.

20.1.3.
Переносим \(-\sin5x\) влево: \[ \sin x+\sin5x-\sqrt2\sin3x=0. \] \[ 2\sin3x\cos2x-\sqrt2\sin3x=0, \] \[ \sin3x(2\cos2x-\sqrt2)=0. \] Отсюда: \[ x=\frac{\pi k}{3} \] или \[ \cos2x=\frac{\sqrt2}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi k. \]

20.1.4.
\[ \cos x-\cos3x=2\sin2x\sin x. \] Тогда уравнение принимает вид: \[ 2\sin2x(\sin x-1)=0. \] \[ \sin2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2}. \] Корни \(\sin x=1\) уже входят в эту серию.

20.2.1.
\[ \cos(70^\circ+x)\cos(x-20^\circ) =\frac12\cos(2x+50^\circ). \] Получаем: \[ \frac12\cos(2x+50^\circ)=\frac12, \] \[ \cos(2x+50^\circ)=1, \] \[ 2x+50^\circ=360^\circ k, \] \[ x=-25^\circ+180^\circ k=155^\circ+180^\circ k. \]

20.2.2.
\[ 40^\circ+x=90^\circ+(x-50^\circ), \] поэтому \[ \sin(40^\circ+x)=\cos(x-50^\circ). \] Уравнение превращается в \[ \sin(x-50^\circ)\cos(x-50^\circ)=1, \] \[ \frac12\sin(2x-100^\circ)=1, \] то есть \(\sin(2x-100^\circ)=2\), что невозможно.

Что важно запомнить. Сумму или разность синусов и косинусов удобно сводить к произведению, после чего решать уравнение вида «произведение равно нулю». В конце проверяйте, не входит ли одна серия корней в другую, и не забывайте про ограничения синуса и косинуса.