Объясни тему Линейные уравнения

Кратко: линейное уравнение — это уравнение, которое можно привести к виду

\[ ax=b, \]

где \(x\) — неизвестное, \(a\) и \(b\) — числа. Главное: \(x\) входит только в первой степени — без \(x^2\), корней и \(x\) в знаменателе.

Как решать

1. Раскрой скобки и убери дроби.
2. Перенеси слагаемые с \(x\) в одну часть, а числа — в другую. При переносе знак меняется.
3. Приведи подобные слагаемые.
4. Раздели обе части на коэффициент при \(x\).

Пример. Решим

\[ 3(x-2)=5x+4. \]

Раскрываем скобки:

\[ 3x-6=5x+4. \]

Переносим:

\[ 3x-5x=4+6, \]

\[ -2x=10, \]

\[ x=\frac{10}{-2}=-5. \]

Проверка. Левая часть:

\[ 3(-5-2)=3\cdot(-7)=-21. \]

Правая часть:

\[ 5\cdot(-5)+4=-25+4=-21. \]

Обе части равны, значит корень найден верно: \(x=-5\).

Важные случаи

• Если \(a\neq 0\), то уравнение \(ax=b\) имеет один корень: \[ x=\frac{b}{a}. \]
• Если получилось \(0x=5\), корней нет.
• Если получилось \(0x=0\), решением является любое число.

Главный принцип: уравнение решают равносильными преобразованиями, то есть меняют его так, чтобы множество корней не изменилось.