1. Төмөнкү чекиттердин координаталары C(-4; -2) жана D(3; 5) чекиттери берилген. Чекиттердин кайсы координаталык чейректе жатканын аныктаңыз.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Төмөнкү чекиттердин координаталары
$C(-4; -2)$ жана $D(3; 5)$ чекиттери берилген. Чекиттердин кайсы координаталык чейректе жатканын аныктаңыз.

2. Эки вектордун арасындагы бурчту тапкыла.
$c(-2; 1)$ жана $d(2; 4)$ векторлорунун арасындагы бурчту тапкыла.

3. Айланманын теңдемеси
Борбору $O(-1; 2)$, радиусу $R = 4$ болгон айланманын теңдемесин жаз.

4. Түз сызыктын теңдемеси
$C(-1; 1)$ жана $D(2; 7)$ чекиттери аркылуу өткөн түз сызыктын теңдемесин тапкыла.

5. Векторлор
$a = (-2; 5)$, $b = (3; -1)$ векторлору берилген. $a + b$ жана $2b$ векторлорун тапкыла.

6. Вектордун узундугу
$b = (5; 12)$ векторунун узундугун тапкыла.

7. Айланманын теңдемеси
$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ теңдемеси менен берилген айланманын борборун жана радиусун тапкыла.

8. Векторлордун скалярдык көбөйтүндүсү
$A(1; 2)$, $B(2; 2)$, $C(0; 2)$.
Векторлордун скалярдык көбөйтүндүсүн тапкыла:

9. $a = (4; -1)$, $b = (1; 4)$ болсо, $a · b$ скалярдык көбөйтүндүсүн эсептегиле.

Answer

Кратко:

1. $C$ — III четверть, $D$ — I четверть.

2. $90^\circ$.

3. $(x+1)^2+(y-2)^2=16$.

4. $y=2x+3$.

5. $\vec a+\vec b=(1;4)$, $2\vec b=(6;-2)$.

6. $13$.

7. Центр $O(-1;4)$, радиус $R=3$.

8. Для $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$: $-1$.

9. $0$.

Почему так:

1. Знаки координат: $(-;-)$ — III четверть, $(+;+)$ — I четверть.

2. Скалярное произведение:
$$
\vec c\cdot\vec d=(-2)\cdot2+1\cdot4=-4+4=0.
$$
Если скалярное произведение равно $0$, векторы перпендикулярны: угол $90^\circ$.

3. Уравнение окружности:
$$
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.
$$
Подставляем $O(-1;2)$, $R=4$:
$$
(x+1)^2+(y-2)^2=16.
$$

4. Уравнение прямой через две точки:
$$
\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}.
$$
$$
\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{6}
\Rightarrow y=2x+3.
$$
Проверка: $C(-1;1)$: $1=2(-1)+3$; $D(2;7)$: $7=2\cdot2+3$. Верно.

5. Складываем соответствующие координаты:
$$
\vec a+\vec b=(-2+3;5-1)=(1;4),
$$
$$
2\vec b=2(3;-1)=(6;-2).
$$

6. Длина вектора:
$$
|\vec b|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.
$$

7. Выделяем полные квадраты:
$$
x^2+2x+y^2-8y+8=0,
$$
$$
(x+1)^2-1+(y-4)^2-16+8=0,
$$
$$
(x+1)^2+(y-4)^2=9.
$$
Значит, центр $(-1;4)$, радиус $\sqrt9=3$.

8. Если в задании имеются в виду $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{AB}=(2-1;2-2)=(1;0),
$$
$$
\overrightarrow{AC}=(0-1;2-2)=(-1;0),
$$
$$
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\cdot(-1)+0\cdot0=-1.
$$
На фото в №8 не видно обозначения двух векторов. Если там $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$, то получится $-2$.

9. Скалярное произведение:
$$
\vec a\cdot\vec b=4\cdot1+(-1)\cdot4=4-4=0.
$$
Векторы перпендикулярны.