Приведены запросы к поисковой системе: 1) бульдог | доберман | уход 2) бульдог | доберман | уход | питомник 3) доберман | бульдог 4) (доберман | бульдог) & уход

Краткий ответ: 4, 3, 1, 2 — именно в таком порядке возрастает число найденных документов.

Ключевые шаги

Обозначим множества документов: \(Б\) — где есть «бульдог», \(Д\) — «доберман», \(У\) — «уход», \(П\) — «питомник».

Главное правило: знак | — объединение («или»), знак & — пересечение («и»).

Переводим запросы:

1. \(Б \cup Д \cup У\)
2. \(Б \cup Д \cup У \cup П\)
3. \(Д \cup Б = Б \cup Д\) — от перестановки слагаемых объединение не меняется
4. \((Д \cup Б) \cap У\)

Теперь сравниваем через вложение множеств (кто содержится в ком):

• \(3 \subseteq 1\): в первом запросе к тем же двум словам добавлено «уход», а объединение может только расширить набор.
• \(1 \subseteq 2\): добавлено «питомник» — снова только расширение.
• \(4 \subseteq 3\): пересечение с «уходом» оставляет лишь часть документов третьего запроса, поэтому 4-й запрос даёт не больше, чем 3-й.

Отсюда цепочка \(4 \le 3 \le 1 \le 2\), причём неравенства строгие: есть страницы про уход без собак (они попадают в 1, но не в 3 и не в 4), а не всякая страница про бульдога или добермана содержит слово «уход».

Круги Эйлера

Три пересекающихся круга \(Б\), \(Д\), \(У\); рядом четвёртый круг \(П\), тоже пересекающийся с ними.

• Запрос 3 — вся область двух кругов \(Б\) и \(Д\) (всё «бульдог или доберман»).
• Запрос 4 — только та часть этой области, которая попала внутрь круга \(У\), то есть «собака и уход»; самый маленький кусок.
• Запрос 1 — к области запроса 3 добавлена оставшаяся часть круга \(У\) (страницы только про уход) — шире.
• Запрос 2 — ко всему этому добавлена область круга \(П\) — самая большая фигура.

Проверка

Формула включений-исключений: \[ |1| = |3| + |У| - |4| \] Так как \(|У| > |4|\) (есть документы про уход без бульдога и добермана), получаем \(|1| > |3|\), а из \(4 \subseteq 3\) следует \(|4| \le |3|\). Порядок \(4 < 3 < 1 < 2\) согласован.