Вариант 2.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2.

1. Найдите область определения функции: $y=\sqrt{x+3}$.

2. Найдите значения функции $f(x)=x^2+5x-6$ при $x=0$ и $x=-2$.

3. Постройте график функции $y=-x^2-4x+5$. С помощью графика найдите:
а) область определения и область значения;
б) нули функции;
в) промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания;
д) наименьшее и наибольшее значения функции.

4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой

1. $y=-\frac{1}{x}$; 2) $y=x^2$; 3) $y=|x|$;

2. $y=\sqrt{x}$; 5) $y=-x^2$; 6) $y=x^3$.
[Рисунки: три графика функций и таблица для ответа с обозначениями А, Б, В.]
Ответ: ___

5. Постройте график функции $y=-2x+1$.

6. Область определения функции $y=f(x)$, график которой изображен на рисунке, отрезок $[-5;4]$. Найдите нули функции, промежутки убывания и возрастания, область значений функции.
[Рисунок: график функции $y=f(x)$ на координатной сетке.]

Answer

Кратко

1. $D(y)=[-3;+\infty)$.

2. $f(0)=-6,\qquad f(-2)=-12$.

3. $y=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9$. График — парабола ветвями вниз с вершиной $(-2;9)$.
Нули: $x=-5,\ x=1$.
$D(y)=\mathbb R,\ E(y)=(-\infty;9]$.
$y>0$ при $x\in(-5;1)$; $y<0$ при $x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)$.
Возрастает на $(-\infty;-2]$, убывает на $[-2;+\infty)$.
Наибольшее значение $9$, наименьшего нет.

4. А — 1, Б — 3, В — 5.

5. Прямая $y=-2x+1$ проходит через точки $(0;1)$, $(1;-1)$, $(-1;3)$.

6. По графику: нули $x=-4,\ -1,\ 2$;
возрастает на $[-5;-3]$ и $[1;4]$;
убывает на $[-3;1]$;
область значений $[-2;3]$.

Как это получается

1. Подкоренное выражение неотрицательно:
$$
x+3\ge0 \Rightarrow x\ge-3.
$$

2. Подставляем $x$ в формулу $f(x)=x^2+5x-6$:
$$
f(0)=0+0-6=-6,
$$
$$
f(-2)=4-10-6=-12.
$$

3. Выделяем полный квадрат:
$$
-x^2-4x+5=-(x^2+4x)+5=-(x+2)^2+9.
$$
Отсюда вершина $(-2;9)$, ветви вниз. Корни:
$$
-x^2-4x+5=0 \Rightarrow x^2+4x-5=0 \Rightarrow (x+5)(x-1)=0.
$$
Значит, нули $-5$ и $1$. Для построения полезны точки: $(-5;0)$, $(-4;5)$, $(-2;9)$, $(0;5)$, $(1;0)$.

4. Гипербола соответствует $y=-\dfrac1x$ — формула 1. «Уголок» — это $y=|x|$, формула 3. Парабола ветвями вниз — $y=-x^2$, формула 5.

5. Чтобы построить прямую, достаточно двух точек:
$$
x=0:\ y=1;\qquad x=1:\ y=-1.
$$
Через $(0;1)$ и $(1;-1)$ проводим прямую.

6. Нули — это пересечения графика с осью $Ox$: $x=-4,\ -1,\ 2$. На промежутках, где график поднимается, функция возрастает; где опускается — убывает. Самые низкая и высокая точки графика дают область значений $[-2;3]$.