Краткий ответ: конспект

1. Правило умножения (правило произведения). Если первый выбор можно сделать \(m\) способами, а при каждом из них второй выбор — \(n\) способами, то пару выборов можно сделать \[ m\cdot n \] способами.

2. Обобщение на несколько этапов. Если выбор идёт в \(k\) этапов и на \(i\)-м этапе есть \(n_i\) вариантов, то всего вариантов \[ n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k. \]

3. «И» — умножаем, «или» — складываем.

• Выбираем и то, и другое (сначала одно, потом другое) — перемножаем числа вариантов.
• Подходит или один вариант, или другой (они не могут встретиться вместе) — складываем.

4. Пример 1. 3 рубашки и 4 пары брюк. Каждая рубашка сочетается с каждыми брюками: \[ 3\cdot 4 = 12 \text{ комплектов}. \]

5. Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

• Цифры могут повторяться: \(3\cdot 3\cdot 3 = 27\).
• Цифры не повторяются: \(3\cdot 2\cdot 1 = 6\).

6. Пример 3. Код из 4 цифр (цифры могут повторяться): \[ 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 10^4 = 10\,000. \]

7. Как понять, почему умножаем. Разобьём все варианты на \(m\) групп — по первой выбору. В каждой группе ровно \(n\) вариантов, значит, всего \(n+n+\ldots+n\) (\(m\) раз), то есть \(m\cdot n\). Это же видно на дереве вариантов: у каждой из \(m\) первых веток расходятся \(n\) веток.

8. Проверка. Для примера 1 переберём: (р1,б1), (р1,б2), (р1,б3), (р1,б4), (р2,б1), … — действительно 12 пар. Для примера 2 без повторений: 123, 132, 213, 231, 312, 321 — 6 чисел, совпало.

9. Типичные ошибки.

• Складывают вместо умножения: \(3+4=7\) — неверно, ведь комплектов не 7.
• Забывают, что после выбора без повторения вариантов становится меньше (было 3, стало 2, потом 1).
• Если число вариантов на втором шаге зависит от первого выбора по-разному, правило в чистом виде не работает — считают по веткам дерева и складывают.

Главная идея: каждый вариант первого шага «размножается» на все варианты второго, поэтому числа вариантов перемножаются.