318. Келесі тізбектердің қайсысы: а) өспелі; ә) кемімелі болатынын зерттеңдер:

На фото два связанных номера — 318 и 319, причём 319 ссылается на 318. Поэтому решаю оба.

Краткий ответ

318.

• возрастают: \((a_n)\), \((f_n)\);
• убывают: \((b_n)\), \((d_n)\);
• не являются монотонными: \((c_n)\), \((e_n)\).

319. Для \(n=1,2,3,\ldots\):

\[ a_n=\frac{n}{n+1},\qquad b_n=-4^n,\qquad c_n=(-5)^n,\qquad d_n=\left(\frac{3}{10}\right)^n. \]

Как это понять

Монотонность проверяют по соседним членам:

• если \(x_{n+1}-x_n>0\), последовательность возрастает;
• если \(x_{n+1}-x_n<0\), убывает;
• если знак меняется, монотонности нет.

1. \((a_n)\):
   \[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} =\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0, \] поэтому последовательность возрастает.

2. \((b_n)\):
   \[ b_{n+1}-b_n=-4^{n+1}+4^n=-3\cdot4^n<0, \] значит, она убывает.

3. \((c_n)\): значения чередуют знак: \(-5,\ 25,\ -125,\ 625,\ldots\).
   Сначала \(c_2>c_1\), но потом \(c_3<c_2\), поэтому последовательность не монотонна.

4. \((d_n)\): все члены положительны, причём \[ \frac{d_{n+1}}{d_n}=\frac{3}{10}<1, \] следовательно, последовательность убывает.

5. \((e_n)\): \(5>2\), но затем \(2<5\), поэтому она не возрастает и не убывает.

6. \((f_n)\): каждый следующий член больше предыдущего на новую десятичную единицу: \[ 0{,}1<0{,}11<0{,}111<0{,}1111, \] поэтому последовательность возрастает.

Проверка формул из 319: например, при \(n=3\) получаем \[ a_3=\frac34,\quad b_3=-64,\quad c_3=-125,\quad d_3=\frac{27}{1000}, \] что совпадает с данными последовательностями.