1. Запишите уравнение окружности с центром C(1;5) и радиусом, равным 6.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
вариант 4(1) [рукописно: неразборчиво]
Запишите уравнение окружности с центром C(1;5) и радиусом, равным 6.
Окружность задана уравнением \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 36\). Определите координаты центра окружности и радиус. [рукописно синей ручкой: \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 36\), часть знаков неразборчива]
Окружность задана уравнением \((x - 5)^{2} + (y + 3)^{2} = 26\). Определите, лежит ли на этой окружности точка M(6;2)?
Краткий ответ
- \[ (x-1)^2+(y-5)^2=36 \]
- Центр \(O(4;1)\), радиус \(R=6\).
- Да, точка \(M(6;2)\) лежит на этой окружности.
Ключевая идея
Уравнение окружности с центром \(O(x_0;y_0)\) и радиусом \(R\) имеет вид \[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \] То есть в скобках стоят координаты центра с противоположным знаком, а справа — квадрат радиуса. Радиус всегда положителен.
Разбор по заданиям
1. Дано \(x_0=1\), \(y_0=5\), \(R=6\). Подставляю в шаблон: \[ (x-1)^2+(y-5)^2=6^2=36. \]
2. Сравниваю с шаблоном: \((x-4)^2\) даёт \(x_0=4\), \((y-1)^2\) даёт \(y_0=1\), справа \(36=R^2\), значит \(R=6\) (не \(-6\), радиус — длина).
3. Центр \((5;-3)\), потому что \(y+3=y-(-3)\). Радиус \(R^2=26\). Подставляю координаты точки \(M(6;2)\): \[ (6-5)^2+(2+3)^2=1^2+5^2=1+25=26. \] Получилось ровно \(R^2\), значит точка лежит на окружности. Полезно запомнить: если слева меньше \(R^2\) — точка внутри, если больше — снаружи.
Проверка
Для задания 3 можно посчитать расстояние от центра до точки: \(\sqrt{(6-5)^2+(2+3)^2}=\sqrt{26}=R\) — совпало с радиусом, вывод верный. В задании 1 проверка обратная: центр \((1;5)\) и \(R=\sqrt{36}=6\) — сходится с условием.
