сделай 118 номер

Вот решение № 118.

Кратко

График функции

\[ y=\frac{1}{4}x^2 \]

— парабола с вершиной \((0;0)\), ветви направлены вверх. Например, она проходит через точки \((-4;4)\), \((-2;1)\), \((0;0)\), \((2;1)\), \((4;4)\).

а) \(y(-2{,}5)=1{,}5625\), \(y(-1{,}5)=0{,}5625\), \(y(3{,}5)=3{,}0625\).

б) при \(y=5\): \(x=\pm2\sqrt5\);
при \(y=3\): \(x=\pm2\sqrt3\);
при \(y=2\): \(x=\pm2\sqrt2\).

в) функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).

Как это получается

1. Подставляем \(x\) в формулу:

\[ y(-2{,}5)=\frac{(-2{,}5)^2}{4}=\frac{6{,}25}{4}=1{,}5625. \]

Аналогично:

\[ y(-1{,}5)=\frac{2{,}25}{4}=0{,}5625, \qquad y(3{,}5)=\frac{12{,}25}{4}=3{,}0625. \]

В обыкновенных дробях это \(\frac{25}{16}\), \(\frac{9}{16}\) и \(\frac{49}{16}\).

2. Чтобы найти \(x\) по известному \(y\), решаем уравнение:

\[ \frac{x^2}{4}=y \quad\Rightarrow\quad x^2=4y \quad\Rightarrow\quad x=\pm2\sqrt{y}. \]

Отсюда:

\[ y=5:\ x=\pm2\sqrt5,\qquad y=3:\ x=\pm2\sqrt3,\qquad y=2:\ x=\pm2\sqrt2. \]

Корней два, потому что парабола симметрична относительно оси \(Oy\).

3. Вершина параболы — точка \((0;0)\), ветви идут вверх. Поэтому слева от нуля функция убывает, а справа возрастает. Если в классе записывают промежутки открытыми, то пишут \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\) — смысл тот же.

Проверка

Таблица точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4\\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} \]

Точки симметричны относительно оси \(Oy\), ветви направлены вверх — график и промежутки определены верно. По сравнению с \(y=x^2\) график сжат к оси \(Ox\) в 4 раза.