Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1=3,\; x_2=2\).
Ключевые шаги
Выписываем коэффициенты уравнения \(x^2-5x+6=0\): \[ a=1,\quad b=-5,\quad c=6. \]
Находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \] Так как \(D>0\), у уравнения два различных корня.
Подставляем в формулу корней: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{5\pm1}{2}. \] Отсюда \[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \]
Как рассуждать в похожем задании
Дискриминант показывает, сколько корней:
- \(D>0\) — два корня;
- \(D=0\) — один корень;
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Для приведённого уравнения вида \(x^2+px+q=0\) есть быстрый способ: корни ищутся как два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь сумма должна быть \(5\), произведение \(6\) — это \(2\) и \(3\).
Проверка
По теореме Виета: \[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]
Подстановкой: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
