Чыгар
Сверь числа и знаки с фото.
1 Функцияның өсу және кему аралықтарын табыңыз \(f(x) = 3x^4 + 4x^3\) ?
Жауабы: \(f(x)=3x^4+4x^3\) функциясы \((-\infty;-1]\) аралығында кемиді, ал \([-1;+\infty)\) аралығында өседі. \(x=-1\) нүктесінде минимум: \(f(-1)=-1\).
Шешу қадамдары:
Туындыны табамыз: \[ f'(x)=12x^3+12x^2=12x^2(x+1). \]
Туынды нөлге тең болатын нүктелер: \[ 12x^2(x+1)=0 \Rightarrow x=0,\quad x=-1. \]
Сан осін осы нүктелермен бөліп, әр аралықта туындының таңбасын анықтаймыз:
- \(x<-1\): \(x^2>0\), \(x+1<0\), демек \(f'(x)<0\) — функция кемиді;
- \(-1<x<0\): \(x+1>0\), демек \(f'(x)>0\) — функция өседі;
- \(x>0\): \(x+1>0\), демек \(f'(x)>0\) — функция өседі.
- \(x=0\) нүктесінде туынды нөлге тең, бірақ оның таңбасы өзгермейді: екі жағында да \(f'(x)>0\). Сондықтан \(x=0\) — экстремум емес. Функция \(x=0\) нүктесінен өткенде өсуін жалғастырады.
Тексеру: \(f(-2)=16\), \(f(-1)=-1\), \(f(0)=0\), \(f(1)=7\). Мәндер \(16\to-1\) кемиді, содан кейін \(-1\to0\to7\) өседі. Бұл табылған аралықтарға сәйкес келеді.
Өсу аралықтарын \([-1;0]\) және \([0;+\infty)\) деп те жазуға болады; функция үзіліссіз болғандықтан, оларды біріктіріп \([-1;+\infty)\) деуге болады.
Обсуждение
6 сообщенийЖообу
Жообу:
- Функция \(f(x)=3x^4+4x^3\) үчүн:
- Кемүү аралыгы: \((-\infty;\,-1]\);
- Өсүү аралыгы: \([-1;\,+\infty)\);
- Минимум чекити: \(x=-1\), минимум мааниси \(f_{\min}=f(-1)=-1\);
- Максимум жок (\(x\to\pm\infty\) болгондо \(f(x)\to+\infty\));
- \(x=0\) чекити экстремум эмес: анда \(f'(x)=0\) болгону менен туундунун белгиси өзгербейт.
Кыска текшерүү: \(f'=12x^2(x+1)\), белгиси \(-1\) чекитинде гана «\(-\)»ден «\(+\)»га өзгөрөт — ошондуктан ал жерде минимум.
Эгер толук жазылышы (аралыктарды табуу тартиби менен) керек болсо, айтыңыз — кадамдап жазып берейин.
Графигин чийип бер
\(f(x)=3x^4+4x^3\) функциясынын графиги үчүн негизги чекиттер:
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -2 & -\frac{3}{2} & -\frac{4}{3} & -1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ \hline f(x) & 16 & \frac{27}{16} & 0 & -1 & -\frac{16}{27} & -\frac{5}{16} & 0 & \frac{11}{16} & 7 \end{array} \]
Графиктин формасы:
- \(x=-\frac{4}{3}\) чекитинде график \(x\)-окту кесип өтөт.
- \(x=-1\) чекитинде минимум: \((-1;-1)\).
- \(x=-\frac{2}{3}\) чекити — ийилүү чекити: \(\left(-\frac{2}{3};-\frac{16}{27}\right)\).
- \(x=0\) чекитинде график \(x\)-окко горизонталдуу жанып өтөт, андан ары өйдө кетет. Бул үч эселенген тамыр.
- \(x\to\pm\infty\) болгондо \(f(x)\to+\infty\).
Чийүү тартиби:
- \(x\) огу боюнча \(-2\)дөн \(1{,}5\)ке чейин, \(y\) огу боюнча \(-1{,}5\)төн \(3\)кө чейинки шкала ал.
- Таблицадагы чекиттерди белгиле.
- Сол жактан тик төмөн түшүп, \(\left(-\frac{4}{3};0\right)\) аркылуу өтүп, \((-1;-1)\) минимумуна жет.
- Андан кийин өйдө көтөрүлүп, \(\left(-\frac{2}{3};-\frac{16}{27}\right)\) ийилүү чекити аркылуу өтүп, \((0;0)\) чекитине горизонталдуу жанып кел.
- \((0;0)\)дон кийин график тез өсөт: \((1;7)\), \((2;80)\).
Текшерүү: \(f'(x)=12x^2(x+1)\), \(f''(x)=12x(3x+2)\). Демек \(x=-1\) — минимум, \(x=-\frac{2}{3}\) жана \(x=0\) — ийилүү чекиттери.
Эскертүү: сүрөттөгү жазууда \(x_{\min}=-6\), \(x_{\max}=2\) деген сандар көрүнүп турат, бирок алар \(f(x)=3x^4+4x^3\) функциясына туура келбейт. Эгер сен сүрөттөгү башка функциянын графигин сурап жатсаң, анын толук формуласын жазып бер — сүрөттө жогорку бөлүгү кесилип калган.
Графигин чийип берчи
Сүрөттө функциянын өзү көрүнбөйт — болгону экстремумдардын жана айрым чекиттердин маанилери жазылган (\(x_{\max}\), \(x_{\min}\), \(y(-1)=5\) ж.б.).
Так график чийүү үчүн функциянын формуласын (мисалы, \(f(x)=\ldots\)) же барактын толук сүрөтүн жиберчи.
