2x²-5x+18<_0
Краткий ответ: решений нет, \(x\in\varnothing\).
Рассмотрим выражение \[ 2x^2-5x+18. \] Найдём дискриминант: \[ D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 18=25-144=-119. \] Так как \(D<0\), уравнение \(2x^2-5x+18=0\) не имеет действительных корней. Коэффициент при \(x^2\) равен \(2>0\), значит, парабола направлена ветвями вверх и не пересекает ось \(Ox\).
Можно проверить через выделение полного квадрата: \[ 2x^2-5x+18=2\left(x-\frac54\right)^2+\frac{119}{8}. \] Выражение всегда не меньше \(\frac{119}{8}\), то есть всегда положительно. Поэтому неравенство \[ 2x^2-5x+18\le 0 \] не выполняется ни при каких действительных \(x\).
Ответ: \(x\in\varnothing\).
Обсуждение
4 сообщенияА рисовать?
А рисовать?
Да, для неравенства с квадратичной функцией рисунок помогает. Схематично нужно изобразить параболу \(y=2x^2-5x+18\).
Как построить схему
- Ветви параболы направлены вверх, потому что коэффициент при \(x^2\) равен \(2>0\).
- Найдём вершину: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac54=1{,}25, \] \[ y_0=2\left(\frac54\right)^2-5\cdot\frac54+18=\frac{119}{8}=14{,}875. \]
- Дискриминант \(D=-119<0\), значит, парабола не пересекает ось \(Ox\).
- Для проверки можно взять две симметричные точки: \[ x=0:\quad y=18; \] \[ x=2{,}5:\quad y=2\cdot 6{,}25-12{,}5+18=18. \]
Схема (не в масштабе):
y
↑
| \ /
| \ /
| \ /
| \ /
| \ /
| ● вершина (1,25; 14,875)
─+──────────────────────────→ x
0
Вся парабола находится выше оси \(Ox\), нигде не касается её и не пересекает. Поэтому закрашивать на оси \(Ox\) нечего: неравенство \(2x^2-5x+18\le 0\) не выполняется ни при каких \(x\).
Ответ: \(x\in\varnothing\).
Да, эскиз нужен — он и показывает, почему решений нет.
Строим параболу \(y=2x^2-5x+18\) по опорным точкам.
1. Вершина. Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{4}=1{,}25, \] тогда \[ y_0=2\cdot\frac{25}{16}-\frac{25}{4}+18=\frac{25}{8}-\frac{50}{8}+\frac{144}{8}=\frac{119}{8}=14{,}875. \] Вершина: \((1{,}25;\ 14{,}875)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=1{,}25\).
2. Симметричные точки. Возьмём отступающие от вершины на \(0{,}25\):
| \(x\) | 1 | 1,25 | 1,5 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 15 | 14,875 | 15 |
И точки подальше, симметричные относительно \(1{,}25\):
| \(x\) | 0 | 2,5 |
|---|---|---|
| \(y\) | 18 | 18 |
3. Эскиз:
y
│ \ /
│ ● ● (0;18) и (2,5;18)
│ \ /
│ ● ● (1;15) и (1,5;15)
│ \ /
│ \ /
│ \ /
│ \ /
│ \ /
│ ● вершина (1,25; 14,875)
─┼────────────────────────── x
0 1,25
4. Главное на рисунке. Дискриминант \(D=-119<0\), поэтому парабола не пересекает ось \(Ox\) и целиком лежит выше неё (минимальное значение \(14{,}875>0\)). Неравенство \(2x^2-5x+18\le 0\) требует, чтобы график был ниже оси или на ней, то есть нужна заштрихованная часть под осью. А такой части нет — на рисунке вообще нечего штриховать.
Вывод: \(x\in\varnothing\).
Маленькая хитрость: при построении можно брать масштаб по \(y\) мельче (например, 1 клетка = 2 единицы), иначе парабола уедет вверх за пределы листа — суть эскиза не в точности, а в том, что кривая не касается оси \(Ox\).
