ответь на вопросы
Сверь числа и знаки с фото.
Вопросы для повторения к главе V
1 Объясните, какая фигура называется ломаной. Что такое вершины, звенья, длина ломаной? 2 Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника? 3 Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника. 4 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника. 5 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. 6 Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины. 7 Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника? 8 Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником? 9 Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 10 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 11 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.
1. Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков. Вершины — концы звеньев; звенья — сами отрезки; длина — сумма длин звеньев.
2. Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений. Вершины — её вершины, стороны — звенья; диагонали — отрезки, соединяющие несоседние вершины; периметр — сумма длин всех сторон.
3. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две соседние вершины. Его углы — внутренние углы, образованные соседними сторонами.
4. \[ \sum \alpha_i=180^\circ(n-2). \] Диагонали из одной вершины делят \(n\)-угольник на \(n-2\) треугольника.
5. Если \(\alpha_i\) — внутренние, а \(\beta_i\) — внешние углы, то \[ \sum \beta_i=n\cdot180^\circ-\sum \alpha_i =n\cdot180^\circ-180^\circ(n-2)=360^\circ. \]
6. Чертёж: четырёхугольник \(ABCD\); диагонали \(AC\) и \(BD\); противоположные стороны \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\); противоположные вершины \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\).
7. \[ 360^\circ. \]
8. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, он выпуклый.
9. Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC\) — диагональ. Тогда \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\), поэтому \(\angle BAC=\angle ACD\), \(\angle BCA=\angle CAD\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, \(AB=CD\), \(BC=AD\), \(\angle B=\angle D\). Равенство \(\angle A=\angle C\) следует из \[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD,\qquad \angle C=\angle BCA+\angle ACD. \]
10. Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в \(O\). По свойству параллелограмма \(AB=CD\), а из параллельности сторон \(\angle OAB=\angle OCD\), \(\angle OBA=\angle ODC\). Значит, \(\triangle AOB=\triangle COD\). Отсюда \(AO=OC\), \(BO=OD\).
11. Признаки параллелограмма:
Если две стороны четырёхугольника равны и параллельны, то он параллелограмм.
Доказательство: диагональ даёт равные накрест лежащие углы; треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда вторая пара сторон параллельна.Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то он параллелограмм.
Доказательство: диагональ разбивает его на равные треугольники по трём сторонам; накрест лежащие углы равны, значит, стороны параллельны.Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.
Доказательство: треугольники при диагоналях равны по двум сторонам и вертикальному углу; отсюда противоположные стороны равны и параллельны.
Обсуждение
6 сообщений?
Я готов ответить, но вопросов не вижу. Пришлите их текстом или фото.
ответь
1. Ломаная — фигура из последовательно соединённых отрезков. Звенья — эти отрезки; вершины — их концы; длина — сумма длин звеньев.
2. Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений. Вершины — вершины ломаной; стороны — её звенья; периметр — сумма длин сторон; диагонали — отрезки, соединяющие несоседние вершины.
3. Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Его углы — внутренние углы при вершинах.
4. \[ \sum \alpha_i=180^\circ(n-2). \] Диагонали из одной вершины делят \(n\)-угольник на \(n-2\) треугольника.
5. Внешний угол \(\beta_i=180^\circ-\alpha_i\). Поэтому \[ \sum \beta_i=180^\circ n-\sum \alpha_i =180^\circ n-180^\circ(n-2)=360^\circ. \]
6. Чертёж: четырёхугольник \(ABCD\); диагонали \(AC\) и \(BD\); противоположные стороны \(AB\) и \(CD\), \(BC\) и \(AD\); противоположные вершины \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\).
7. \[ 360^\circ. \]
8. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, он выпуклый.
9. В параллелограмме \(ABCD\): \(AB\parallel CD\), \(BC\parallel AD\). Диагональ \(AC\) даёт \(\angle BAC=\angle ACD\) и \(\angle BCA=\angle CAD\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по стороне и двум углам, значит \(AB=CD\), \(BC=AD\), \(\angle B=\angle D\). Тогда \[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=\angle ACD+\angle BCA=\angle C. \]
10. Пусть диагонали пересекаются в точке \(O\). Тогда \(AB=CD\), \(\angle OAB=\angle OCD\), \(\angle OBA=\angle ODC\), поэтому \(\triangle AOB=\triangle COD\). Отсюда \(AO=OC\) и \(BO=OD\).
11. Признаки параллелограмма:
- Если две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
- Если противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
- Если диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то это параллелограмм.
Кратко: в каждом случае диагональ или диагонали дают равные треугольники, откуда следует равенство и параллельность противоположных сторон.
реши 413
413. Построение циркулем и линейкой.
а) По двум смежным сторонам \(a\) и \(b\).
- Строим прямой угол с вершиной \(A\).
- На его сторонах откладываем \(AB=a\), \(AD=b\).
- Через \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\), а через \(D\) — параллельную \(AB\). Их пересечение — точка \(C\).
\(ABCD\) — искомый прямоугольник.
б) По стороне \(a\) и диагонали \(d\) \((d>a)\).
- Строим отрезок \(AB=a\).
- В точке \(B\) восставляем перпендикуляр к \(AB\).
- Из точки \(A\) радиусом \(d\) делаем засечку на этом перпендикуляре — получаем \(C\).
- Через \(C\) проводим прямую, параллельную \(AB\), а через \(A\) — параллельную \(BC\). Их пересечение — \(D\).
Получаем прямоугольник \(ABCD\), у которого \(AC=d\).
в) По диагонали \(d\) и углу \(\alpha\) между диагоналями.
- Строим диагональ \(AC=d\) и находим её середину \(O\).
- Через \(O\) проводим прямую под углом \(\alpha\) к \(AC\).
- На этой прямой по обе стороны от \(O\) откладываем \(OB=OD=\dfrac{d}{2}\).
- Соединяем точки \(A,B,C,D\).
Диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(ABCD\) — прямоугольник.
