Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 17 минут, а на каждом следующем занятии увеличить время, проведённое на беговой дорожке, на 1 минуту.…

Краткий ответ: за 10 занятий.

Переведём время в минуты: \[ 3\text{ ч }35\text{ мин}=180+35=215\text{ мин}. \]

Пусть Андрей занимался \(n\) раз. Время на дорожке образует последовательность: \[ 17,\ 18,\ 19,\ \ldots,\ 17+(n-1). \]

Сумма первых \(n\) членов: \[ S_n=\frac{17+\bigl(17+n-1\bigr)}{2}\cdot n =\frac{n(n+33)}{2}. \] По условию: \[ \frac{n(n+33)}{2}=215. \] Отсюда: \[ n(n+33)=430, \] \[ n^2+33n-430=0. \] Дискриминант: \[ D=33^2+4\cdot430=1089+1720=2809=53^2. \] Значит, \[ n=\frac{-33+53}{2}=10. \] Второй корень отрицательный, он не подходит.

Проверка. За 10 занятий он проведёт: \[ 17+18+\ldots+26=\frac{17+26}{2}\cdot10=43\cdot5=215\text{ мин}. \] Это и есть 3 часа 35 минут.