решить

Кратко — ответы

• ① а) \(3\); б) \(\log_2\log_2 a-3\) (при \(a>1\)); в) \(20\)
• ② \(0{,}5\)
• ③ а) \(x=4\); б) \(x=16\) и \(x=0{,}5\); в) \(x=3\), но там знак в скобке неразборчив — см. ниже
• ④ а) \(x\in\left(\frac13;\,4\right)\); б) \(x\in[-1;\,0)\cup(2;\,3]\)

Что здесь работает (5 правил)

1. \(\log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}\) и \(\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)\) — сумма/разность сворачивается в один логарифм.
2. \(a^{\log_a b}=b\) — основное логарифмическое тождество.
3. \(\log_a b^{k}=k\log_a b\); \(\log_{a^{m}}b=\frac1m\log_a b\) — степень из аргумента и из основания «выносится».
4. Сначала ОДЗ: аргумент логарифма \(>0\) (и основание \(>0,\neq1\)).
5. Основание \(>1\) — логарифм возрастает, знак неравенства сохраняется; \(0<a<1\) — убывает, знак переворачивается.

Решения по шагам

① а) \[ \log_3 135-\log_3 5=\log_3\frac{135}{5}=\log_3 27=3 \]

① б) Сначала избавляемся от корня и от «неудобного» основания: \[ \log_4\sqrt[4]{a}=\tfrac14\log_4 a=\tfrac14\cdot\frac{\log_2 a}{\log_2 4}=\frac{\log_2 a}{8} \] \[ \log_2\frac{\log_2 a}{8}=\log_2\log_2 a-\log_2 8=\log_2\log_2 a-3 \] Условие: нужен \(\log_4\sqrt[4]{a}>0\), то есть \(a>1\).

① в) Двойка в показателе «разваливается» на множители, а дальше работает тождество: \[ 5^{1+\log_5 4}=5^1\cdot 5^{\log_5 4}=5\cdot 4=20 \]

② Считаем каждое слагаемое отдельно: \(\log_5 125=3\) (так как \(5^3=125\)), \(\log_5 0{,}2=\log_5\frac15=-1\), \(\log_3 81=4\): \[ \frac{3+(-1)}{4}=\frac{2}{4}=0{,}5 \]

③ а) Логарифмы с одним основанием равны ⟺ равны аргументы (они уже в ОДЗ): \[ 5x-3=3x+5 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4 \] Проверка: \(5\cdot4-3=17>0\) ✓

③ б) ОДЗ \(x>0\). Замена \(t=\log_2 x\): \[ t^2-3t-4=0 \Rightarrow t_1=4,\; t_2=-1 \] Обратно: \(x=2^4=16\), \(x=2^{-1}=0{,}5\). Оба больше нуля ✓

④ а) Основание \(0{,}5<1\) — функция убывает, поэтому знак неравенства переворачивается: \[ 3x-1<2x+3 \Rightarrow x<4 \] ОДЗ: \(3x-1>0 \Rightarrow x>\frac13\). Итог: \(x\in\left(\frac13;4\right)\). Проверка при \(x=1\): \(\log_{0{,}5}2=-1\), \(\log_{0{,}5}5\approx-2{,}32\); \(-1>-2{,}32\) ✓

④ б) \(\log_3(x^2-2x)\le\log_3 3\), основание \(3>1\): \[ x^2-2x\le 3 \Rightarrow x^2-2x-3\le0 \Rightarrow -1\le x\le 3 \] ОДЗ: \(x^2-2x>0 \Rightarrow x<0\) или \(x>2\). Пересекаем: \[ x\in[-1;0)\cup(2;3] \]

③ в) Второй логарифм читается неоднозначно, поэтому два варианта прочтения (способ один: \(\lg A+\lg B=\lg(AB)\), затем \(AB=2\) плюс ОДЗ):

• если \(\lg(x-1)+\lg(x-2)=\lg 2\): \((x-1)(x-2)=2 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x=0\) или \(x=3\); ОДЗ \(x>2\) оставляет \(x=3\);
• если \(\lg(x-1)+\lg(2-x)=\lg 2\): \((x-1)(2-x)=2 \Rightarrow x^2-3x+4=0\), \(D=-7<0\) — корней нет.

Уточни, какой знак стоит в скобке: \(x-2\) или \(2-x\)?