Как считаеться скалярное произведение векторов

Краткий ответ

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi \]

Где \(\varphi\) — угол между векторами (от \(0^\circ\) до \(180^\circ\)).

Ключевые шаги

1. Через длины и угол. Находим длины векторов и угол между ними, подставляем в формулу. Угол удобно искать, откладывая векторы от одной точки.

2. Через координаты. Если векторы заданы координатами \(\vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\), \(\vec{b}=(x_2;y_2;z_2)\), то

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \]

То есть перемножаем одноимённые координаты и складываем. На плоскости координату \(z\) просто не пишем.

3. Как найти угол. Из первой формулы:

\[ \cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} \]

Важные следствия

• \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\) — угол острый; \(=0\) — векторы перпендикулярны; \(<0\) — угол тупой.
• Скалярный квадрат: \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\), поэтому \(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\).
• Результат — всегда число, а не вектор (в этом и смысл слова «скалярное»).

Пример с проверкой

\(\vec{a}=(1;2)\), \(\vec{b}=(3;-1)\).

\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1 \]

Проверка через угол: \(|\vec{a}|=\sqrt5\), \(|\vec{b}|=\sqrt{10}\), значит

\[ \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}\approx0{,}141 \]

Угол \(\varphi\approx81{,}9^\circ\) — острый, и произведение положительное. Всё сходится.

Похожее задание решается так же: сначала выбери, что дано — координаты или длины с углом, — и применяй соответствующую формулу.