14. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре, если в нём 14 рядов?

На фото три задания: 13, 14 и 15. Краткие ответы: 13 — 4; 14 — 406 мест; 15 — 15.

13. Неравенство \(x - x^2 < 0\). Разложим на множители: \[ x(1-x) < 0. \] Нули выражения — \(x=0\) и \(x=1\). Проверяем знаки:

• при \(x<0\): \(x<0\), \(1-x>0\), произведение отрицательно;
• при \(0<x<1\): оба множителя положительны, произведение положительно;
• при \(x>1\): \(x>0\), \(1-x<0\), произведение отрицательно.

Значит, решение: \(x \in (-\infty;0) \cup (1;+\infty)\), точки \(0\) и \(1\) выколоты. Это рисунок 4.

14. Это арифметическая прогрессия: \(a_1=16\), \(d=2\), \(n=14\). Сумма: \[ S_{14}=\frac{14}{2}\bigl(2\cdot16+13\cdot2\bigr)=7(32+26)=7\cdot58=406. \] Ответ: 406 мест.

15. В прямоугольном треугольнике \(\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac45\), поэтому \(\cos A=\frac35\). Но \(\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{AB}\). Получаем: \[ \frac{9}{AB}=\frac35 \quad\Rightarrow\quad AB=\frac{9\cdot5}{3}=15. \] Проверка: \(BC=15\cdot\frac45=12\), \(AC=9\), гипотенуза \(AB=15\) — египетский треугольник \(9,12,15\). Ответ: 15.