1) log₇(8+x)=log₇ 10 2) log₅(x²+2x)=log₅(x²+10) 3) lg(3x−1)−lg(x+5)=lg5

Краткий ответ

1. \(x=2\)
2. \(x=5\)
3. Корней нет
4. \(x=3\)
5. \(x=5\)
6. \(x=\frac{1}{3}\) или \(x=2187\)
7. \(x=\frac{1}{2}\cdot 5^{10+\sqrt{103}}\) или \(x=\frac{1}{2}\cdot 5^{10-\sqrt{103}}\)
8. \(x=25\)
9. \(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\) или \(x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}\)

Как решать такие уравнения

Главное правило: сначала ОДЗ, потому что аргумент логарифма должен быть положительным. Затем:

• \(\log_a A=\log_a B\) равносильно \(A=B>0\);
• сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения, разность — в логарифм частного;
• число можно записать как логарифм: \(2=\log_5 25\);
• если встречается \(\log_a^2 x\), делаем замену \(t=\log_a x\) и решаем квадратное уравнение.

В конце обязательно проверяем корни по ОДЗ.

Ключевые шаги

1. \(x>-8\), затем \(8+x=10\), поэтому \(x=2\).

2. Логарифмы с одинаковым основанием:
   \[ x^2+2x=x^2+10 \Rightarrow 2x=10 \Rightarrow x=5. \] При \(x=5\) аргумент положителен.

3. ОДЗ: \(x>\frac13\).
   \[ \lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg5 \Rightarrow \frac{3x-1}{x+5}=5. \] Отсюда \(x=-13\), но это не входит в ОДЗ. Поэтому корней нет.

4. ОДЗ: \(x>2\).
   \[ \log_3\bigl((x-2)(x+6)\bigr)=2 \Rightarrow (x-2)(x+6)=9. \] Получаем \(x^2+4x-21=0\), корни \(3\) и \(-7\). По ОДЗ остаётся только \(x=3\).

5. ОДЗ: \(x>4\). Так как \(2=\log_5 25\),
   \[ 4x+5=25(x-4) \Rightarrow x=5. \]

6. ОДЗ: \(x>0\). Замена \(t=\log_3 x\):
   \[ t^2-6t-7=0 \Rightarrow t=7 \text{ или } t=-1. \] Значит, \(x=3^7=2187\) или \(x=3^{-1}=\frac13\).

7. ОДЗ: \(x>0\). Замена \(t=\log_5(2x)\):
   \[ t^2-20t-3=0 \Rightarrow t=10\pm\sqrt{103}. \] Тогда \[ 2x=5^{10\pm\sqrt{103}}, \] откуда \[ x=\frac{1}{2}\cdot 5^{10\pm\sqrt{103}}. \]

8. ОДЗ: \(x>0\). Замена \(t=\log_5 x\), при этом \(\log_5 x^2=2t\):
   \[ t^2-4t+4=0 \Rightarrow (t-2)^2=0 \Rightarrow t=2. \] Значит, \(x=5^2=25\).

9. ОДЗ:
   \[ x^2+x>0 \Rightarrow x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty). \] Замена \(t=\log_{1/2}(x^2+x)\):
   \[ t^2-t=0 \Rightarrow t=0 \text{ или } t=1. \] Если \(t=0\), то \(x^2+x=1\), откуда \(x=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\).
   Если \(t=1\), то \(x^2+x=\frac12\), откуда \(x=\frac{-1\pm\sqrt3}{2}\).
   Все четыре значения входят в ОДЗ.

Проверка: в №3 и №4 лишние корни отброшены по ОДЗ; остальные найденные значения дают положительные аргументы логарифмов и удовлетворяют исходным уравнениям.