Тест 4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Вариант 1

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Тест 4. Взаимное расположение
прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми
Вариант 1

А1. В тетраэдре $ABCD$ укажите прямую, скрещивающуюся
с прямой $AB$.
☐ 1) $BD$
☐ 2) $CD$
☐ 3) $AD$
☐ 4) $AC$

А2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в плоскости $ABCD$ найдите прямые, параллельные прямой $A_1B_1$.
☐ 1) $AB$ и $CD$
☐ 2) $AB$ и $C_1D_1$
☐ 3) $CD$ и $AC$
☐ 4) $AC$ и $AB$

А3. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BD$.
☐ 1) $45^\circ$ ☐ 3) $30^\circ$
☐ 2) $60^\circ$ ☐ 4) $90^\circ$

В1. Прямые $OB$ и $CD$ параллельные, а $OA$ и $CD$ — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми $OA$
и $CD$, если $\angle AOB = 138^\circ$.

Ответ: ___

В2. Даны параллелограмм $ABCD$ и трапеция $ABEK$ с основанием $EK$, не лежащие в одной плоскости. Выясните
взаимное расположение прямых $CD$ и $EK$. Найдите периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность
и $CD = 22$ см, $EK = 16$ см.

Ответ: ___

С1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $DD_1$ выбрана точка $E$
так, что $DE : ED_1 = 1 : 2$. Вычислите косинус угла между
прямыми $AE$ и $CE$.

Ответ: ___

Answer

Краткие ответы

Задание |
Ответ |

А1 |
2) $CD$ |

А2 |
1) $AB$ и $CD$ |

А3 |
4) $90^\circ$ |

В1 |
$42^\circ$ |

В2 |
$CD \parallel EK$; $76$ см |

С1 |
$\frac{1}{10}$ |

А1. В тетраэдре $ABCD$ с прямой $AB$ пересекаются рёбра $AC$, $AD$ и $BD$ — в точках $A$, $A$ и $B$. Ребро $CD$ не пересекает $AB$ и не параллельно ей: это противоположные рёбра тетраэдра, поэтому они скрещиваются.

Ответ: 2) $CD$.

А2. В кубе $A_1B_1 \parallel AB$, а в параллелограмме $ABCD$ сторона $CD \parallel AB$. Значит, $AB$ и $CD$ лежат в плоскости $ABCD$ и обе параллельны $A_1B_1$. Прямая $C_1D_1$ тоже параллельна $A_1B_1$, но в плоскости $ABCD$ не лежит.

Ответ: 1) $AB$ и $CD$.

А3. Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, поэтому $AA_1 \perp BD$.

Ответ: 4) $90^\circ$.

В1. Так как $OB \parallel CD$, угол между $OA$ и $CD$ равен углу между $OA$ и $OB$. Но $\angle AOB = 138^\circ$ — тупой, а угол между прямыми берут не больше $90^\circ$:

$$
180^\circ - 138^\circ = 42^\circ.
$$

Ответ: $42^\circ$.

В2.

1. $AB \parallel EK$ как основания трапеции, а $CD \parallel AB$ как противоположные стороны параллелограмма. Поэтому $CD \parallel EK$.

2. В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны:

$$
AB + EK = BE + KA.
$$

При этом $AB = CD = 22$ см, $EK = 16$ см, значит:

$$
BE + KA = 22 + 16 = 38 \text{ см}.
$$

Периметр трапеции:

$$
P = AB + EK + BE + KA = 22 + 16 + 38 = 76 \text{ см}.
$$

Ответ: $CD \parallel EK$; $76$ см.

С1. Пусть ребро куба равно $a$. Введём координаты:

$$
A(0;0;0),\quad C(a;a;0),\quad D(0;a;0),\quad D_1(0;a;a).
$$

Точка $E$ лежит на $DD_1$, причём $DE:ED_1 = 1:2$, поэтому $DE = \frac{a}{3}$ и

$$
E\left(0;a;\frac{a}{3}\right).
$$

Тогда

$$
\overrightarrow{EA} = \left(0;-a;-\frac{a}{3}\right),\qquad
\overrightarrow{EC} = \left(a;0;-\frac{a}{3}\right).
$$

Скалярное произведение и длины векторов:

$$
\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EC}
= \frac{a^2}{9},
$$

$$
|\overrightarrow{EA}| = |\overrightarrow{EC}|
= \sqrt{a^2+\frac{a^2}{9}}
= \frac{a\sqrt{10}}{3}.
$$

Следовательно,

$$
\cos\angle AEC
= \frac{\frac{a^2}{9}}{\frac{a\sqrt{10}}{3}\cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}}
= \frac{\frac{a^2}{9}}{\frac{10a^2}{9}}
= \frac{1}{10}.
$$

Прямые $AE$ и $CE$ пересекаются в точке $E$, поэтому искомый угол — это $\angle AEC$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

Проверка: по теореме косинусов в треугольнике $AEC$ с $AE=CE=\frac{a\sqrt{10}}{3}$ и $AC=a\sqrt{2}$ получается тот же косинус.

Задание	Ответ
А1	2) \(CD\)
А2	1) \(AB\) и \(CD\)
А3	4) \(90^\circ\)
В1	\(42^\circ\)
В2	\(CD \parallel EK\); \(76\) см
С1	\(\frac{1}{10}\)

Тест 4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Вариант 1

Обсуждение